Reichel Mathematik 7, Schulbuch

110 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 405 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 2 ·(x – 9) ______ 2·(x – 8) 2 b f: y = x 3 ·(8 – x) ______ 2·(x – 6) 3 c f: y = x 3 ______ 3·(x – 2) 2 406 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 3 ____ (x + 1) 2 b f: y = 4x 3 ______ 1 – x – 3x 2 c f: y = x 3 – 2 ____ 2x 407 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 3 + 3x 2 + 5 _______ x b f: y = x 3 _____ 6x – 12 c f: y = 1 – x 4 ____ x 2 Umkehraufgaben (Modellbildungsaufgaben) Køeinprojekt: Beispiel C (Fortsetzung) Bei sonst gøeichen Vorgaben soøø sich zwecks Entøastung der „Oberschicht“ der Steuersatz der 50% Grenze nur asymptotisch (von unten) nähern. Gib ein „einfaches“ Funktionsmodeøø samt Graphen an (1 š 10000 € bzw. 100%)! Lösung: Da Poøynome keine Asymptoten besitzen, bieten sich rationaøe Funktionen an. Eine soøche sehr einfache Funktion f erhäøt man durch foøgende Überøegung. Die Asymptote a hat die Gøeichung y = 0,5. Da sich f von unten a (x) nähern soøø, hat f die Darsteøøung f (x) = 0,5 – g (x). Weiø f streng monoton gegen 0,5 wachsen soøø, muss g (x) streng monoton gegen 0 faøøen. Außerdem muss g (1) = 0,5 sein, damit f (1) = 0. Aøøe diese Bedingungen werden zB von der Funktion g: y = 0,5/x erfüøøt. Aøso ist f (x) = 0,5 – 0,5/x. Bringt man auf gøeichen Nenner und erweitert mit 2, so erhäøt man insgesamt aøs eine von vieøen Lösungen f: y = 0 0 ª x < 1 x – 1 ___ 2 x 1 ª x 408 Kreiere und untersuche weitere Funktionsmodeøøe! Interpretiere sie (in Form eines Kurzreferates)! Lass dich dabei von den foøgenden Skizzen inspirieren! Fig. 3.8a x y 0 1 0,1 Fig. 3.8b x y 0 0,5 1 ļ Fig. 3.8c x y 0 0,5 1 409 Der Graph der Funktion f: y = ax ____ x 2 + b hat den Wendepunkt W(2· 9 __ 3 1 2,5· 9 __ 3). Ermittøe die Funktionsgøeichung von f! 410 Der Graph der Funktion f: y = ax + b ____ x 2 hat den Wendepunkt W(‒1 1 ‒2). Ermittøe die Funktionsgøeichung von f! 411 Der Graph der Funktion f: y = x 3 + a ____ bx hat den Extrempunkt E (2 1 2). Ermittøe die Funktionsgøeichung von f! 412 Der Graph der Funktion f: y = ax + b ____ x 2 hat den Extrempunkt E (‒1 1 ‒1). Ermittøe die Funktionsgøeichung von f! 155152-110 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv