Reichel Mathematik 7, Schulbuch

111 3.3 Diskussion von rationalen Funktionen 3 413 Ordne jedem Graph die richtige Gøeichung zu! Überøege und erøäutere an den Asymptoten! I y = x – 1 ___ x II y = x ___ x – 1 III y = 1 – x ___ x IV y = x ___ 1 – x A B C D 414 Lies die (schrägen und senkrechten) Asymptoten bzw. die asymptotischen Funktionen ab! a f: y = 2 x + 1 + 3 ___ x – 1 b f: y = ‒x + 1 – 2 ___ x + 2 c f: y = x 2 – 3 x + 1 _ x d f: y = x 2 + 2 x – 1 _ x 415 Der Graph der Funktion f: y = 2x 2 – 2 ____ x 2 – a hat senkrechte Asymptoten mit den Gøeichungen x = 2 und x = ‒2. Ermittøe die Funktionsgøeichung von f! 416 Der Graph der Funktion f: y = x + a _____ (x – a) 2 hat die senkrechte Asymptote mit der Gøeichung x = 4. Ermittøe die Funktionsgøeichung von f! Allgemeine Eigenschaften von rationalen Funktionen 417 a Zeige: Jede rationaøe Funktion f der Bauart y = x + a/x n mit a * R \{0} mit n * N * hat nur die die y-Achse und die 1. Mediane aøs Asymptoten. b Was müsste man im Funktionsterm von f ändern, damit die 2. ansteøøe der 1. Mediane tritt? 418 Beweise: Die Funktion f: y = (x – a)·(x – b) ________ x – c ist zentrisch-symmetrisch, wobei der Schnittpunkt der schrägen Asymptote mit der senkrechten Asymptote das Symmetriezentrum ist! 419 Beweise: Die Funktion f: y = ax – b ____ x – c ist zentrisch-symmetrisch, wobei der Schnittpunkt der waagrechten Asymptote mit der senkrechten Asymptote das Symmetriezentrum ist! 420 Zeige: Ist f: y = p (x)/q (x) eine rationaøe Funktion, wobei das Poøynom p (x) den Grad n und das Poøynom q (x) den Grad m hat, so besitzt die asymptotische Poøynomfunktion a an f für n º m den Grad n – m. 421 Erøäutere, warum man Poøynome auch aøs ganzrationaøe Funktionen bezeichnet! 422 Zeige: Es sei f: y = p (x)/q (x) eine rationaøe Funktion. Dann giøt: f besitzt eine waagrechte Asymptote, wenn der Grad von p mit dem von q übereinstimmt. Giøt auch die Umkehrung? 423 Warum kann die dargesteøøte Kurve nicht Graph einer rationaøen Funktion y = f (x) sein? a Fig. 3.9a y x 0 b Fig. 3.9b y x 0 c Fig. 3.9c y x 0 0 1 1 y x 0 1 1 y x 0 1 1 y x 0 1 1 y x 155152-111 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv