Reichel Mathematik 7, Schulbuch

112 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 Diskussion von Winkelfunktionen 1. Winkelfunktionen diskutieren Winkelfunktionen sind in der Technik zur Beschreibung von periodischen Vorgängen (wie „Drehbewe- gungen“) unverzichtbar. Beispiel F Diskutiere die Funktion f: R ¥ R , y = sin 2 x! Lösung: Wir biøden zunächst die Abøeitungen f’, f’’ und f’’’: f’: y = 2·sinx·cos x f’’: y = 2·(cos x·cos x + sinx·(‒sinx)) = 2·(cos 2 x – sin 2 x) f’’’: y = 2·(2·cos x·(‒sinx) – 2·sinx·cos x) = ‒8·sinx·cos x 1) Die Funktion f ist in ganz R definiert und stetig. 2) Nuøøsteøøen: y = 0 = sin 2 x 0 = sinx x = 0 = x = π = … w N 1 (0 1 0), N 2 ( π1 0), … Aøøgemein: N (k· π1 0), k * Z 3) Extremsteøøen: y’ = 0 = 2·sinx·cos x 0 = sinx = 0 = cos x x = 0 = x = π = … x = π /2 = x = 3 π /2 = … Aøøgemein: x = k· π , k * Z x = π /2 + k· π , k * Z y’’(k· π ) = 2 > 0 w x = k· π , k * Z ist eine øokaøe Minimumsteøøe y (k· π ) = 0 w Tiefpunkt T = N (k· π1 0) y’’( π /2 + k· π ) = ‒2 < 0 w x = π /2 + k· π , k * Z ist eine øokaøe Maximumsteøøe y ( π /2 + k· π ) = 1 w Hochpunkt H ( π /2 + k· π1 1) 4) Wendesteøøen: y’’ = 0 = 2·(cos 2 x – sin 2 x) 0 = (1 – sin 2 x – sin 2 x) 2·sin 2 x = 1 sinx = ± 9 ___ 1/2 x = π /4 = x = 3 π /4 = x = 5 π /4 = x = 7 π /4 = … Aøøgemein: x = π /4 + k· π = x = 3 π /4 + k· π , k * Z y’’’( π /4 + k· π ) = ‒4 ≠ 0 w x = π /4 + k· π , k * Z ist eine Wendesteøøe y ( π /4 + k· π ) = 1/2 w Wendepunkt W( π /4 + k· π1 1/2) y’( π /4 + k· π ) = 1 w Wendetangente w steigt unter 45° y’’’(3 π /4 + k· π ) = 4 ≠ 0 w x = 3 π /4 + k· π , k * Z ist eine Wendesteøøe y (3 π /4 + k· π ) = 1/2 w Wendepunkt W(3 π /4 + k· π1 1/2) y’(3 π /4 + k· π ) = ‒1 w Wendetangente w fäøøt unter 45° 5) Monotonieverhaøten: f’(x) = 2·sinx·cos x x = 0 0 < x < π /2 x = π /2 π /2 < x < π x = π f’(x) = 0 > 0 = 0 < 0 = 0 f T H T Man sieht: Die Extrempunkte H und T zerøegen den Graphen von f in streng monoton faøøende ( ) Stücke und in streng monoton steigende ( ) Stücke. (Dabei haben wir steøøvertretend für aøøe an- deren Perioden nur die Periode [0; π ] untersucht.) 6) Krümmungsverhaøten: f’’(x) = 2·(cos 2 x – sin 2 x) x = π /4 π /4 < x < 3 π /4 x = 3 π /4 3 π /4 < x < 5 π /4 x = 5 π /4 f’’(x) = 0 < 0 = 0 > 0 = 0 f W W W 3.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv