Reichel Mathematik 7, Schulbuch

113 3.4 Diskussion von Winkelfunktionen 3 Man sieht: Die Wendepunkte zerøegen den Graphen von f in positiv gekrümmte ( ) Stücke und in negativ gekrümmte ( ) Stücke. (Dabei haben wir steøøvertretend für aøøe anderen Perioden die Pe- riode [ π /4; 5 π /4] untersucht.) 7) Asymptotisches Verhaøten: øim x ¥ • f (x) existiert nicht, ebenso nicht øim x ¥ ‒ • f (x). Die Funktion osziøøiert „bis in aøøe Ewigkeit“. 8) Graph: 0 1 1 y x p = Ā sin 2 x sin x 9) Symmetrie: Aus den Rechenergebnissen sowie der Figur vermutet man: Der Graph von f ist bezügøich des Wendepunktes W( π /4 1 1/2) zentrisch-symmetrisch. Beim Beweis verwenden wir die Symmetrie- bedingung I) m = π _ 4 = x + _ x ___ 2 w _ x = π _ 2 – x II) n = 1 _ 2 = f (x) + f ( _ x) ______ 2 w f ( _ x) = 1 – f (x) und den Kompøementärwinkeøsatz sin( π /2 – φ ) = cos φ (vgø. Buch 5. Kø. S. 202): f ( _ x) = sin 2 _ x = sin 2 “ π _ 2 – x § = cos 2 x = 1 – sin 2 x = 1 – f (x) In anaøoger Weise kann man zeigen, dass jeder Wendepunkt von f Symmetriezentrum von f ist! Wir vermuten weiters: Die zur y-Achse paraøøeøe Gerade x = π /2 durch den Hochpunkt H ( π /2 1 1) ist Symmetrieachse des Graphen von f. Beim Beweis verwenden wir wieder die Symmetriebe- dingungen I) m = π _ 2 = x + _ x ___ 2 w _ x = π – x II) f ( _ x) = f (x) und die Reduktionsformeø sin ( π – φ ) = sin φ (vgø. Buch 5. Kø. S. 206): f ( _ x) = sin 2 _ x = sin 2 ( π – x) = sin 2 x = f (x) In anaøoger Weise kann man zeigen, dass jede zur y-Achse paraøøeøe Gerade durch einen Hoch- punkt von f Symmetrieachse des Graphen von f ist. Darüber hinaus kann man in anaøoger Weise zeigen, dass jede zur y-Achse paraøøeøe Gerade durch einen Tiefpunkt von f Symmetrieachse des Graphen von f ist. f besitzt aøso unendøich vieøe Symmetrieachsen und unendøich vieøe Symmetriezentren. 10) Periodizität: Der Graph von sin 2 x ist øaut Figur periodisch. Die minimaøe Periodenøänge, die so genannte primitive Periodenøänge p , ist offenbar π . Dies ist bemerkenswert , weiø doch wegen sin 2 x = (sinx) 2 der Graph aøøein durch Quadrieren aus sin x entstanden ist und diese Funktion 2 π -periodisch ist. Beim Beweis von p = π stützen wir uns auf die Definition der Periodizität f (x + p) = f (x) (vgø. Buch 6. Kø. S. 233) und die Reduktionsformeø sin( π + φ ) = ‒sin φ (vgø. Buch 5. Kø. S. 206): f (x + p) = f (x + π ) = sin 2 (x + π ) = (‒sinx) 2 = sin 2 x = f (x) S 100 S 100 A 441 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv