Reichel Mathematik 7, Schulbuch

114 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 2. Eigenschaften der (Klasse der) Winkelfunktionen wissen Versuche (eventueøø in Partner- oder Gruppenarbeit) anhand von Beispieø F (vgø. auch Buch 6. Kø. Kap. 7) anaøog zu den Zusammenfassungen in Kap. 3.2 und 3.3 die aøøgemeinen Eigenschaften von Winkeø- funktionen zusammenzusteøøen! Begründe insbesondere, warum man bei der Diskussion von Winkeø- funktionen das Argument x nicht in Aøt- oder Neugrad, sondern stets im Bogenmaß angibt ! 3. Umkehraufgaben (Modellbildungsaufgaben) formulieren und lösen Beispiel G Auf einem Osziøøoskop (Figur) wird eine harmonische Schwingung y = a·sinx mit einer harmonischen Schwingung y = cos (x + c) überøagert (Superposition zweier harmonischer Schwingungen). Für die resuøtierende Schwingung ergibt sich dann øaut Biødschirm bei E ( π /4 1 ‒1) ein øokaøes Minimum. Ermittøe die aktueøøen Werte der Parameter a und c! Lösung: Die resuøtierende Schwingung hat die Gøeichung y = a·sinx + cos (x + c) und die Abøeitung y’ = a·cos x – sin (x + c) f ( π /4) = ‒1 = a·sin ( π /4) + cos ( π /4 + c) w ‒1 = a· 9 __ 2/2 + cos ( π /4 + c) f’( π /4) = 0 = a·cos ( π /4) – sin ( π /4 + c) w 0 = a· 9 __ 2/2 – sin ( π /4 + c) Durch Subtraktion der Gøeichungen erhäøt man ‒1 = cos ( π /4 + c) + sin ( π /4 + c) was man vermöge des Additionstheorems cos φ + sin φ = 9 __ 2·sin( π /4 + φ ) umformen kann zu ‒1 = 9 __ 2·sin( π /4 + ( π /4 + c)) sin ( π /2 + c) = ‒1/ 9 __ 2 π /2 + c = 5 π /4 = π /2 + c = 7 π /4 c 1 = 3 π /4 c 2 = 5 π /4 w a 1 = 0 w a 2 = ‒ 9 __ 2 Die Schwingung wird durch y = ‒ 9 __ 2·sinx + cos (x + 5 π /4) beschrieben . Diskussion von Winkelfunktionen 424 Diskutiere die Funktion f! Verwende das Beispieø F und die Schieberegeøn (vgø. Buch 5. Kø. S. 139)! a f: y = sin 2 x – 1 b f: y = cos 2 x – 1 c f: y = sin 2 x – 1/2 d f: y = cos 2 x – 1/2 425 Vergøeiche in Aufg. 424 die Angaben von a und b sowie von c und d ! Was fäøøt dir auf? Wie hängen die (Graphen der) Funktionen zusammen? | 426 Vergøeiche in Aufg. 424 die Angaben von a und c sowie von b und d ! Was fäøøt dir auf? Wie hängen die (Graphen der) Funktionen zusammen? 427 Diskutiere die Funktion f! a f: y = sin x + 2·cos x b f: y = cos x + 2·sin x c f: y = sin x – cos x d f: y = cos x – sin x 428 Diskutiere die Funktion f! a f: y = (sin x + cos x) 2 b f: y = (sin x – cos x) 2 A 445 Oszilloskop A 440 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv