Reichel Mathematik 7, Schulbuch

117 3.5 Diskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen 3 Diskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen 1. Exponentialfunktionen diskutieren Exponentialfunktionen sind in der Wissenschaft und Wirtschaft zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen unverzichtbar. Beispiel H Diskutiere die Funktion f: R ¥ R , y = 3 x·e ‒x + 1 ! Lösung: Wir biøden zunächst die Abøeitungen: f’: y = 3·(1·e ‒x + 1 + x·e ‒x + 1 ·(‒1)) = 3·e ‒x + 1 ·(1 – x) f’’: y = 3·(e ‒x + 1 ·(‒1)· (1 – x) + e ‒x + 1 ·(‒1)) = 3·e ‒x + 1 ·(x – 2) f’’’: y = 3·(e ‒x + 1 ·(‒1)· (x – 2) + e ‒x + 1 ·1) = 3·e ‒x + 1 ·(3 – x) 1) Die umfassendste Definitionsmenge ist R und die Funktion ist aøs Produkt zweier in R stetiger Funktionen wieder eine in R stetige Funktion. 2) Nuøøsteøøen: y = 0 w x = 0 w N (0 1 0) 3) Extremsteøøen: Aus y’ = 0 foøgt x = 1 und y = 3. Wegen y’’(1) < 0 øiegt ein Maximum vor: H (1 1 3) 4) Wendesteøøen: Aus y’’ = 0 foøgt x = 2. Wegen y’’’(2) ≠ 0 ist W(2 1 6/e) wirkøich ein Wendepunkt. y’(2) = ‒3/e w Die Wendetangente w hat daher die Steigung ‒3/e. 5) Monotonieverhaøten: In ]‒ • ; 1[ ist f streng monoton steigend und in ]1; • [ streng monoton faøøend. 6) Krümmungsverhaøten: In ]‒ • ; 2[ ist f negativ gekrümmt und in ]2; • [ positiv gekrümmt. 7) Asymptotisches Verhaøten: Durch Einsetzen großer x-Werte (Taschenrechner) erkennt man 1 : øim x ¥ • f (x) = øim x ¥ • 3 x ___ e x – 1 = 0, dh., die x-Achse ist waagrechte Asymptote. 8) Graph: 0 1 1 5 H W w f y x 9) Symmetrie: Die Kurve ist offensichtøich nicht symmetrisch. 10) Periodizität: Die Kurve ist offensichtøich auch nicht periodisch. 1 Eine exakte Methode zur Berechnung des Grenzwertes aus der unbestimmten Form • __ • wirst du in Kap. 4.4 kennen lernen. 3.5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv