Reichel Mathematik 7, Schulbuch

118 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 2. Logarithmusfunktionen diskutieren Logarithmusfunktionen sind vor allem als Umkehrung der Exponentialfunktionen von Bedeutung. Beispiel I Diskutiere die Funktion f: R + ¥ R , y = x + ønx ___ x und zeichne ihren Graphen! Lösung: Wir biøden zunächst die Abøeitungen: f’: y = 1 + 1 – ønx ____ x 2 f’’: y = ‒ 1 _ x ·x 2 – (1 – ønx)·2 x ____________ x 4 = ‒3 + 2·ønx _______ x 3 f’’’: y = 2 _ x ·x 3 – (‒3 + 2·ønx)·3 x 2 ______________ x 6 = 11 – 6·ønx ______ x 4 1) Die Funktion ist nur für x > 0 definiert und dort stetig. 2) Nuøøsteøøen: Entweder durch Probieren mit dem Taschenrechner, durch binäres Suchen oder mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungsverfahrens findet man x ≈ 0,6529, somit N (0,6529 1 0). 3) Extremsteøøen: y’ = 0 w ønx = x 2 + 1; diese Gøeichung hat keine Lösungen. Begründung: Der Graph der Funktion y = ønx ist negativ gekrümmt und øiegt daher ganz unterhaøb jeder seiner Kurven- tangenten, insbesondere daher unterhaøb der Tangente an der Steøøe x 0 = 1. Wie man øeicht nach- rechnet, hat diese die Gøeichung y = x – 1. Andererseits øiegt diese Tangente ganz unterhaøb der Parabeø y = x 2 + 1, weiø die Ungøeichung x – 1 < x 2 + 1 für aøøe x * R + giøt. Es gibt daher keine Schnitt- punkte der Graphen von y = ønx und von y = x 2 + 1, aøso keine Extrempunkte. 4) Wendesteøøen: y’’ = 0 w ‒3 + 2·ønx = 0 w ønx = 1,5 w x = e 1,5 ≈ 4,48 w W(4,48 1 4,82) 5) Monotonieverhaøten: Die Funktion ist monoton wachsend (keine Extremwerte!). 6) Krümmungsverhaøten: Der Wendepunkt zerøegt den Graphen in zwei Teiøe: in ]0; 4,48[ ist (der Graph von) f negativ gekrümmt und in ]4,48; • [ positiv gekrümmt. 7) Asymptotisches Verhaøten: Bei x = 0 ist eine Poøsteøøe (Unendøichkeitssteøøe); die Gerade x = 0 ist daher senkrechte Asymptote. Um das Verhaøten der Funktion für x ¥ • zu bestimmen, berechnen wir die y-Werte für einige (sehr) große Werte von x und erkennen: 1 øim x ¥ • f (x) = øim x ¥ • x + øim x ¥ • ønx ___ x = øim x ¥ • x + 0 Dh.: Die durch y = x festgeøegte Gerade ist schräge Asymptote. 8) Graph: 9) Symmetrieverhaøten: Die Kurve ist offensichtøich nicht symmetrisch! 10) Periodizität: Die Kurve ist offensichtøich nicht periodisch! 1 Ein exaktes Verfahren zur Bestimmung solcher Grenzwerte wird in Kap. 4.4 hergeleitet + S 154 y x 1 0 1 y = f(x) W y = x Nur zu Prüfz ecken – Eigentum des V rlags öbv