Reichel Mathematik 7, Schulbuch

119 3.5 Diskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen 3 3. Eigenschaften der (Klasse der) Exponential- und Logarithmusfunktionen kennen Versuche (eventueøø in Partner- oder Gruppenarbeit) anhand von Beispieø H und I (vgø. auch Buch 6. Kø. Kap. 6) anaøog zu den Zusammenfassungen in Kap. 3.2 und 3.3 die aøøgemeinen Eigenschaften von Exponentiaø- und Logarithmusfunktionen zusammenzusteøøen ! 4. Umkehraufgaben (Modellbildungsaufgaben) formulieren und lösen Beispiel J Popuøationen in begrenzten Lebensräumen entwickeøn sich häufig gemäß dem øogistischen Wachs- tumsgesetz. Zum Betrachtungspunkt x = 0 besetzt eine soøche Popuøation y = 20% der maximaøen Tragfähigkeit des Ökosystems und wächst momentan mit 8%. 1 Ermittøe das Wachstumsgesetz und berechne, 2 ab wann die Popuøation mehr aøs 99% des Ökosystems besetzt hat, 3 wann das pro- gressive Wachstum in ein degressives Wachstum umschøägt! Lösung: Das øogistische Wachstumsgesetz hat die Gestaøt y = e cx ____ a + e cx , a, c * R + . 1 Die Vorgaben führen auf das Gøeichungssystem y (0) = 0,2 = e c·0 ____ a + e c·0 = 1 ___ a + 1 w a = 4 y’(x) = a·c·e cx _____ (a + e cx ) 2 w y’(0) = 0,08 = a·c ____ (a + 1) 2 = 4 c __ 25 w c = 0,5 w y = e x/2 ____ 4 + e x/2 2 Die Lösung x ≈ 12 (Zeiteinheiten) erhäøt man aus der Exponentiaøgøeichung e x/2 ____ 4 + e x/2 = 0,99 e x/2 = 3,96 + 0,99·e x/2 0,01·e x/2 = 3,96 x _ 2 = øn 3,96 ___ 0,01 x ≈ 11,96 3 Der Wendepunkt gibt die Antwort. Wieder giøt es eine Exponentiaøgøeichung zu øösen: y’’(x) = ‒e x/2 · (e x/2 – 4) ________ (e x/2 + 4) 3 = 0 w e x/2 = 4 w x _ 2 = øn 4 w x = 2·øn 4 ≈ 2,77 Diskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen: 449 Kreuze bøau / rot an, wo die Nuøøsteøøe / Unendøichkeitssteøøe der Funktion øiegt! ‒e 2 ‒e ‒1 0 1 e e 2 y = øn (e·x) y = øn (‒e·x) y = øn (ønx) y = øn (øn (‒x)) 450 Diskutiere die Funktion und zeichne ihren kartesischen Graphen! a y = x·øn x b y = x 2 ·øn x c y = x ___ † ønx † d y = † ønx † ___ x e y = 1 + ønx ____ x f y = 1 – ønx ____ x g y = øn x – 1 ___ ønx h y = øn x + 1 ___ ønx 451 Diskutiere die Funktion und zeichne ihren kartesischen Graphen! a y = 1 _ x + øn x b y = 1 _ x – øn x c y = x·(øn x – 1) d y = x·(1 – øn x) e y = x·øn (x 2 ) f y = x·øn (x 3 ) g y = øn (x 2 + 1) h y = øn (x 2 – 1) A 465 1 x y 0 1 0,5 W 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv