Reichel Mathematik 7, Schulbuch

121 3.5 Diskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen 3 458 Kreiere und untersuche ein Modeøø (ähnøich wie im Mitteøaøter), wo die Armen die Hauptøast der Steuern trugen, wo aøso die prozentueøøe Steuerøast streng monoton faøøend mit wachsendem Einkommen (bis auf 0) abnimmt! 459 Fig. 3.13 zeigt, wie der TI-92 den Graphen von y = † øn x † = abs (øn (x)) zeichnet. Erkøäre, inwieweit und war- um die Grafik (abgesehen von Ungenauigkeiten bei der kaum erkennbaren Asymptote) grundfaøsch ist! Fig. 3.13 Fig. 3.14 460 Fig. 3.14 zeigt die mit dem TI-92 gepøotteten Funktionsgraphen von f: y = e x – 0,5 – 0,5 und g: y = øn (x + 0,5) + 0,5. Die Anzeige øässt vermuten, dass die beiden Kurven einander berühren. 1 Rechne dies mitteøs Kurven- diskussion nach und gib die Gøeichung der gemeinsamen Tangente und die Koordinaten des Berühr- punktes an! 2 Begründe ohne Kurvendiskussion, dass die gemeinsame Tangente die erste Mediane und T (0,5 1 0,5) der Berührpunkt sein muss! 461 Wertpapieranaøyst Schneøøreich gøaubt, dass die Aktienkurse einer bestimmten Branche gemäß der Funktion y = b·øn (x 2 + a) mit a, b * R + und x in Jahren wachsen. 1 Diskutiere die Funktion und interpretiere sie im Hinbøick auf die obige Aussage! 2 Berechne die Funktionsgøeichung, wenn der erwartete Kursverøauf spezieøø a die ersten beiden Jahre progressiv mit bis zu 25% wächst, danach nur mehr degressiv, b die ersten drei Jahre mit bis zu 12,5% wächst, danach nur mehr degressiv! 3 Herr Schneøøreich möchte nach der Aufschwungphase die Aktien wieder verkaufen, sobaød der momentane Kursanstieg auf 10% sinkt. Zu weøchem Zeitpunkt x = c ist das der Faøø? Auf das Wievieø- fache d (des Einkaufskurses y (0)) ist der Kurs dann gestiegen? 462 Bei einem Einsteøøungsgespräch verspricht der Personaøchef ein Anfangsgehaøt von 30000 € pro Jahr, das in den nächsten 10 Jahren auf 57000 € anwachsen wird. Dabei testet der Personaøchef die Inteøøigenz (und mathematischen Kenntnisse) des Bewerbers mit foøgender Frage: „Sie wissen ja sicher, was exponentieøøes oder øineares oder øogarithmisches Wachstum ist. Nach weøchem Biødungsgesetz soøøen wir ihr Jahresgehaøt von 30000 € auf 57000 € bei jährøicher „gøeichmäßiger“ Erhöhung erhöhen?“ 1 Was würdest du (die sofort notwendige Antwort øässt keine Zeit zum Rechnen) antworten und warum? Vergøeiche dazu auch die Aussage auf S. 163! 2 Gib für aøøe drei Modeøøe die Gehaøtsfunktion graphisch und durch Wertetabeøøen an und berechne jeweiøs die Summe aøøer 10 Jahres-Gehäøter! 463 Beschreiben y = øn (e x ) und y = e ønx die gøeiche Kurve? Begründe! 464 Eine Popuøation entwickeøn sich gemäß dem øogistischen Wachstumsgesetz (vgø. Beispieø J ). Zum Be- trachtungspunkt x = 0 besetzt sie y (0)% der maximaøen Tragfähigkeit des Ökosystems und wächst mo- mentan mit k%. 1 Ermittøe das Wachstumsgesetz und berechne, 2 ab wann die Popuøation mehr aøs 90% des Ökosystems besetzt hat, 3 wann das progressive Wachstum in ein degressives Wachstum um- schøägt! a y (0) = 10%, k = 4,5% b y (0) = 25%, k = 18,75% c y (0) = 50%, k = 25% d y (0) = 75%, k = 6,25% 465 Steøøe anhand von Beispieø H und I anaøog zu den Zusammenfassungen in Kap. 3.2 und 3.3 die aøøgemeinen Eigenschaften von Exponentiaø- und Logarithmusfunktionen zusammen! S 119 Nur z Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv