Reichel Mathematik 7, Schulbuch

122 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 Diskussion weiterer Funktionen – Theoretische Vertiefung 1. Nicht überall differenzierbare Funktionen (Kurven mit „Spitzen“) untersuchen Die Graphen von Funktionen sind nicht immer – wie bei den stets „gutmütigen“ Polynomfunktionen – überall glatt , dh. (mehrfach) stetig differenzierbar und fadenförmig , dh. ohne Polstellen und andere Definitionslücken. Gerade Sprungstellen, Knicke etc. waren und sind in der Physik und Chemie Ansatzpunkte für (neue) Theorien und Modelle sowie deren technische Umsetzung. Daher wollen – ja müssen – wir unsere Kenntnisse vertiefen: Beispiel K Die Figur zeigt den mit dem TI-92 gepøotteten Graphen der Funktion f: R ¥ R , y = 9 ______ 1 – sinx. Überprüfe anhand einer „køassischen“ Kurvendiskussion, insbesondere bei den Nuøøsteøøen! Lösung: f’: y = ‒cos x _______ 2· 9 __ 1 – sinx f’’: y = ‒(1 – sinx) 2 ________ 4· 9 ____ ___ (1 – sinx) 3 = ‒ 1 _ 4 · 9 ______ 1 – sinx f’’’: y = cos x _______ 8· 9 ____ _ 1 – sinx 1) Die Funktion f ist in ganz R definiert und stetig. 2) Nuøøsteøøen: y = 0 = 9 ______ 1 – sinx sinx = 1 x = π /2 = x = 5 π /2 = … w N 1 ( π /2 1 0), N 2 (5 π /2 1 0), … Aøøgemein: N ( π /2 + k·2 π1 0), k * Z 3) Extremsteøøen: y’ = 0 = ‒cos x _______ 2· 9 ____ 1 – sinx 0 = cos x x = π /2 = x = 3 π /2 = … Aøøgemein: x = π /2 + k·2 π = x = 3 π /2 + k·2 π , k * Z Beachte: Die Lösungen π /2 + k·2 π der Gøeichung cos x = 0 sind nicht Lösungen der Gøeichung ‒cos x _______ 2· 9 ____ 1 – sinx = 0 weiø der Nenner an diesen Steøøen auch den Wert 0 annimmt. Die Funktion f’ ist an diesen Steøøen nicht definiert, aøso besitzt f an diesen Steøøen (in Übereinstimmung mit der Figur) keine Tangente, schon gar nicht eine waagrechte Tangente, wie wir dies für ein øokaøes Extremum fordern. Aøøer- dings existieren dort die øinksseitige sowie die rechtsseitige Haøbtangente und biøden eine Spitze (Ecke) S . Wir zeigen dies für die Steøøe x = π /2: Wegen cos x = + 9 _______ 1 – sin 2 x für 0 < x < π /2 giøt bei Annäherung an x = π /2 von øinks: øim x ¥ π /2 ‒cos x _______ 2· 9 ______ 1 – sinx = ‒ 1 _ 2 · øim x ¥ π /2 9 _______ 1 – sin 2 x ______ 9 ______ 1 – sinx = ‒ 1 _ 2 · øim x ¥ π /2 9 ____________ (1 + sinx)·(1 – sinx) ____________ 1 – sinx = = ‒ 1 _ 2 · øim x ¥ π /2 9 ______ 1 + sinx = ‒ 9 __ 2 __ 2 = Steigung der øinksseitigen Haøbtangente Wegen cos x = ‒ 9 _______ 1 – sin 2 x für π /2 < x < π giøt bei Annäherung an x = π /2 von rechts: øim x ¥ π /2 ‒cos x _______ 2· 9 ____ 1 – sinx = 1 _ 2 · øim x ¥ π /2 9 _______ 1 – sin 2 x ______ 9 __ 1 – sinx = 1 _ 2 · øim x ¥ π /2 9 ____________ (1 + sinx)·(1 – sinx) ____________ 1 – sinx = = 1 _ 2 · øim x ¥ π /2 9 ______ 1 + sinx = 9 __ 2 __ 2 = Steigung der rechtsseitigen Haøbtangente 3.6 K 3.7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv