Reichel Mathematik 7, Schulbuch

128 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 3. Definitionen und Bedingungen für Wendestellen kennen Definition Ein Punkt W(x 0 1 f (x 0 )) des Graphen der Funktion f heißt Wendepunkt , wenn der Graph dort seinen Krümmungssinn ändert. Die Steøøe x 0 heißt Wendesteøøe . Für differenzierbare Funktionen f wissen wir aus Kap. 3.1: Die Wendestellen von f können nur dort lie- gen, wo die Funktion f’ ihre lokalen Extremstellen besitzt. Diese kann man finden, indem man die obi- gen Bedingungen auf die Funktion f’ anwendet. In Analogie zu den obigen Bedingungen erhält man: Satz Hinreichende Bedingung für Wendesteøøen: Ist f: R ¥ R an der Steøøe x 0 dreimaø stetig differenzierbar und giøt f’’(x 0 ) = 0 ? f’’’(x 0 ) ≠ 0 so ist x 0 eine Wendesteøøe von f. Satz Vorzeichenwechseøbedingung für Wendesteøøen: Ist f: R ¥ R an der Steøøe x 0 stetig, (höchstens mit Ausnahme von x 0 ) in einer Umgebung U ε (x 0 ) zweimaø differenzierbar und wechseøt f’’ bei x 0 das Vorzeichen, so ist x 0 eine Wendesteøøe von f. Man sieht: Die Vorzeichenwechselbedingung hat etwas weniger scharfe Voraussetzungen als die hinrei- chende Bedingung und lässt sich daher auch bei Funktionen anwenden, die bei x 0 „Ecken“ oder Ähnli- ches aufweisen . 4. Extremstellen und Wendestellen höherer Ordnung kennen Ein Vergleich der Bedingungen für lokale Extremstellen bzw. Wendestellen zeigt eine deutliche Gleich- artigkeit. Ganz allgemein lassen sich die Bedingungen wie folgt zusammenfassen: Satz Ist eine Funktion f: R ¥ R an der Steøøe x 0 n-maø (n º 2) stetig differenzierbar und ist die n-te Abøeitung die erste, die an der Steøøe x 0 von nuøø verschieden ist, giøt aøso f’(x 0 ) = f’’(x 0 ) = … = f (n – 1) (x 0 ) = 0 ? f (n) (x 0 ) ≠ 0 so ist für ein gerades n die Steøøe x 0 eine øokaøe Extremsteøøe von f, und zwar eine øokaøe Maximumsteøøe , faøøs f (n) (x 0 ) < 0 giøt, eine øokaøe Minimumsteøøe , faøøs f (n) (x 0 ) > 0 giøt; für ein ungerades n ist die Steøøe x 0 eine Wendesteøøe von f. Kurvendiskussionen 466 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x· 9 ____ x – 3 b f: y = (x – 3)· 9 _ x c f: y = x· 9 ____ x 2 – 4 d f: y = x 2 · 9 ____ x 2 – 4 467 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x· 9 ____ x + 3 b f: y = 9 ______ 4 x 2 + x 3 c f: y = 9 ______ x 4 – 4 x 2 d f: y = x· 9 ____ 9 + x 2 468 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 2 · 9 ____ x + 3 b f: y = (x – 2) 2 · 9 _ x 469 Diskutiere die Funktion f! a f: y = 9 __ † x † b f: y = 3 9 __ † x † c f: y = † x 2 – 4 † d f: y = ‒ † 9 – x 2 † A 471 + 155152-128 N r zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv