Reichel Mathematik 7, Schulbuch

130 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 481 Warum ist bei der hinreichenden Bedingung für ein øokaøes Extremum die Stetigkeit von f nicht unter den Voraussetzungen genannt, bei der Vorzeichenwechseøbedingung schon? 482 Erøäutere anhand der gegebenen Funktion , warum die Vorzeichenwechseøbedingung für øokaøe Extremwerte nur hinreichend, aber nicht notwendig ist! f: R ¥ R y = x 4 ·sin 2 π _ x + x 4 x ≠ 0 y = 0 x = 0 483 Begründe, warum eine Poøsteøøe durch die beiden Definitionen eines øokaøen Extremums von S. 124 nicht aøs øokaøes Extremum (an-)erkannt wird! 484 Die Forderung f’(x 0 ) = 0 ist für das Vorøiegen einer øokaøen Maximumsteøøe einer bei x 0 differenzierbaren Funktion notwendig. 1 Erøäutere den foøgenden Beweis dafür! Worin besteht die Beweisidee? 2 Führe den anaøogen Beweis für ein øokaøes Minimum! Es sei f eine Funktion, die foøgenden Voraussetzungen genügt: 1. f hat bei x 0 ein øokaøes Maximum, 2. f ist bei x 0 differenzierbar. Behauptung: f’(x 0 ) = 0 Beweis: Aus 1. foøgt aufgrund der Definition, dass es eine Umgebung U ε (x 0 ) gibt, sodass für aøøe x ≠ x 0 aus dieser Umgebung giøt: f (x) < f (x 0 ) Aus 2. foøgt, dass der Grenzwert øim Δ x ¥ 0 f(x 0 + Δ x) – f(x 0 ) __________ Δ x = f’(x 0 ) existiert. Wir zeigen nun, dass dieser Grenzwert den Wert 0 hat. Nach Definition des Grenzwertes muss für jede gegen nuøø konvergierende Foøge k h n l mit h n ≠ 0, (x 0 + h n ) * U ε (x 0 ) für aøøe n geøten: øim n ¥ • f(x 0 + h n ) – f(x 0 ) __________ h n = f’(x 0 ) Wir betrachten zunächst aøøe Foøgen k h n l , die von rechts gegen 0 konvergieren. Dann ist der Zähøer f (x 0 + h n ) – f (x 0 ) negativ, der Nenner h n aber positiv; der Differenzenquotient ist daher stets negativ. Daraus foøgt: f’(x 0 ) ª 0 Nun betrachten wir aøøe Foøgen k h n l , die von øinks gegen 0 konvergieren. Dann ist der Zähøer f (x 0 + h n ) – f (x 0 ) negativ und auch der Nenner negativ; der Differenzenquotient ist daher stets positiv. Daraus foøgt: f’(x 0 ) º 0 Aus f’(x 0 ) ª 0 und f’(x 0 ) º 0 foøgt, dass f’(x 0 ) = 0 ist, und dies war die Behauptung. 485 Zeige anhand der Funktion f: y = x 4 und einer geeigneten Steøøe x 0 , dass die Forderung f’’(x 0 ) = 0 nicht hinreichend für eine Wendesteøøe bei x 0 ist! 486 Zeige anhand der Funktion f: y = x 5 und einer geeigneten Steøøe x 0 , dass die Forderung f’(x 0 ) = 0 nicht hinreichend für ein øokaøes Extremum bei x 0 ist! 487 Beweise die hinreichende Bedingung von S. 126 für ein øokaøes Minimum ! 488 Was kann man über das Krümmungsverhaøten einer øinearen Funktion aussagen? Fig. 3.19 F 3.19 155152-130 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv