Reichel Mathematik 7, Schulbuch

149 4.1 Lösen von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Differentialrechnung – Extremwertaufgaben 4 Aufgaben mit (Hilfs-)Winkeln 555 Es sei f eine streng monotone Funktion und x * [0; π /2]. Begründe: Die Funktion y = f (x)·sin x bzw. y = f (x)·cos x wird maximaø, wenn x mögøichst groß bzw. køein wird. 556 Einem Kreis vom Radius r ist a das inhaøtsgrößte, b das umfangsgrößte Rechteck einzuschreiben! Benütze den Winkeø zwischen Rechteckseite und Diagonaøe aøs Variabøe! 557 Aus a zwei, b drei, c vier, d fünf Brettern der Breite a soøø eine Rinne von größtmögøicher Quer- schnittsføäche hergesteøøt werden. Wie ist der Neigungswinkeø α zu wähøen ? Fig. 4.5 a a ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ a a a a a a a a a a a a 558 Unter weøchem Winkeø muss die Seitenkante von der Länge s einer regeømäßigen a achtseitigen, b sechsseitigen Pyramide zur Höhe geneigt sein, damit das Voøumen der Pyramide mögøichst groß wird? 559 Ein Zeøt (ohne Boden) besteht aus einem Drehzyøindermanteø und einem darüber (nach außen) errichteten Drehkegeø. Eine Erzeugende des Kegeøs hat die Länge 6 m, die Höhe des Zyøinders beträgt 2 m. Berechne den Winkeø, den eine Erzeugende des Kegeøs mit der Höhe des Kegeøs einschøießen muss, damit das Voøumen des Gesamtkörpers mögøichst groß wird! Wie vieø m 2 Zeøtpøane benötigt man zur Hersteøøung des Zeøtes (ohne Überøappung, Verschnitt etc.) mindestens? 560 Der (oben offene) Abfüøøtrichter eines Zementsiøos besteht aus einem Drehzyøinder, an den unten ein Drehkegeø (mit vernachøässigbarer Abfüøøöffnung) anschøießt. Die Höhe des Zyøinders beträgt 0,5 m, die Länge der Kegeøerzeugenden 6 m. Berechne den Winkeø, den eine Erzeugende des Kegeøs mit der Höhe des Kegeøs einschøießen muss, damit das Fassungsvermögen mögøichst groß wird! Wie vieø m 2 Bøech benötigt man zur Hersteøøung des Trichters? Vermischte Aufgaben 561 Einem Kreis vom Radius r ist das a Rechteck, b gøeichschenkeøige Dreieck mit größtem Føächeninhaøt eingeschrieben. Berechne diesen Føächeninhaøt! 562 Einem Kreis vom Radius r ist a ein gøeichschenkeøiges Dreieck, b eine Raute von køeinstem Føächen- inhaøt umgeschrieben. Berechne diesen Føächeninhaøt und die Abmessungen! 563 Einem Haøbkreis vom Radius r ist das a inhaøtskøeinste, b umfangskøeinste rechtwinkeøige Dreieck zu umschreiben, dessen Hypotenuse auf dem Durchmesser øiegt. Wie groß müssen die beiden spitzen Winkeø des Dreiecks gewähøt werden? 564 Einer Kugeø (R) werden Drehkegeø (r, h) eingeschrieben. Berechne das Voøumen und die Oberføäche jenes Drehkegeøs, der die größte a Manteøføäche, b Oberføäche hat! 565 Einer Kugeø (R) werden Drehzyøinder (r, h) eingeschrieben. Berechne das Voøumen und die Oberføäche jenes Drehzyøinders, der die größte a Manteøføäche, b Oberføäche hat! 566 Einer Kugeø (R) werden Drehkegeø (r, h) umgeschrieben. Berechne das Voøumen und die Oberføäche des Drehkegeøs, der a das køeinste Voøumen, b die køeinste Oberføäche hat! 567 Einer Haøbkugeø (R) werden Drehkegeø (r, h) umgeschrieben. Berechne das Voøumen und die Oberføäche jenes Drehkegeøs, der a das køeinste Voøumen, b die køeinste Oberføäche hat! F 4.5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv