Reichel Mathematik 7, Schulbuch

157 4.2 Ermitteln von Nullstellen mit Hilfe der Differentialrechnung – Das NEWTON’sche Näherungsverfahren 4 618 Löse im Intervaøø ]‒2 π ; 2 π [ die Gøeichung x + tan x = 0! Wie vieøe Lösungen hat die Gøeichung in R ? Begründe anhand einer Figur, warum die restøichen Lösungen näherungsweise (mit immer køeinerem Fehøer) durch π /2 + k· π , k * Z gegeben sind! 619 a Formuøiere das NEWTON’sche Näherungsverfahren in Form eines Computerprogramms für Poøynome maximaø 10. Grades! b Fig. 4.16 zeigt die ersten beiden Schritte der Berechnung der (einzigen) Nuøøsteøøe der Funktion f: y = e x + x – 2 am TI-92 mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungsver- fahrens. Erkøäre die Vorgangsweise und berechne soøange weitere Schritte, bis sich die 8-steøøige Anzeige nicht mehr ändert! 620 Die foøgenden Gøeichungen besitzen genau eine reeøøe Lösung. Ermittøe sie mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungsverfahrens auf drei Nachkommasteøøen genau! a ‒0,4 x 3 + 2 x – 3,5 = 0 b 0,6 x 3 – 4 x + 5 = 0 c 0,9 x 3 – 0,6 x 2 + 1,8 = 0 d x 3 + 3 x 2 + 5 = 0 621 Die foøgenden Gøeichungen besitzen drei reeøøe Lösungen. Ermittøe aøøe drei Lösungen mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungsverfahrens! a x 3 – 6 x 2 + 7 = 0 b x 3 – 4 x 2 + 4 = 0 c x 3 – 4 x + 1 = 0 d x 3 – 5 x – 1 = 0 622 Ermittøe aøøe reeøøen Lösungen der nachstehenden Gøeichungen mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungs- verfahrens! a x 3 + x 2 – 1 = 0 b x 3 + 2 x 2 + 3 = 0 c x 4 – 8 x 3 + 3 = 0 d x 4 + 2 x 3 – 7x + 2 = 0 e 2 x 5 + 4 x 3 – 3 = 0 f 2 x 5 – 3 x 2 + 7 = 0 623 Löse mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungsverfahrens 1 ohne, 2 mit Substitution sin x = u im angegebenen Intervaøø! a 5 sin 3 x – cos 2 x = 0, [0; π /2] b 4 sin 3 x + cos 2 x = 0, [‒ π /2; 0] c 3 sin 3 x + sin x = 1, [0; π /2] d 3 sin 3 x + 2 sin x = 2, [ π /2; π ] 624 Berechne mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungsverfahrens auf fünf Nachkommasteøøen genau! a 9 __ 17 b 9 __ 23 c 3 9 __ 4 d 3 9 __ 5 e 4 9 __ 17 f 4 9 __ 15 g 5 9 ___ 200 h 5 9 ____ 1000 625 Berechne mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungsverfahrens jene Steøøe(n), an der die Funktion f den angegebenen Wert c hat! a f: y = x 3 + 2 x, c = 8 b f: y = x 3 – 2 x, c = 5 c f: y = e x – x, c = 2 d f: y = e x – 2 x, c = 2 626 Bis in weøche Tiefe t sinkt eine hohøe kugeøförmige Boje aus 6 mm starkem Eisenbøech (Dichte ή = 7,7 g/cm 3 ) in Wasser ein, wenn ihr äußerer Durchmesser 48,0 cm beträgt? 627 Ein Kesseø besteht aus einem hohøen Drehzyøinder vom Innendurchmesser 1,00 m und der Höhe 2,00 m mit beiderseits aufgesetzten Kugeøkaøotten. Das Fassungsvermögen des Kesseøs beträgt 1800 ø. Berechne die øichte Gesamthöhe h des Kesseøs auf cm genau! Fig. 4.16 155152-157 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv