Reichel Mathematik 7, Schulbuch

158 Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 Approximation von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung – TAYLOR-Polynome und Potenzreihen 1. Den Begriff „Berührende Kurven“ verstehen und definieren Fig. 4.17 zeigt die Graphen der Funktionen f: y = sin x g 1 : y = x g 3 : y = x – 1/6·x 3 g 5 : y = x – 1/6·x 3 + 1/120·x 5 Offenbar „schmiegt“ sich der Graph von g 5 an den von f besser an als der von g 3 , und dieser wieder besser als der von g 1 . Warum ist dies so? Berechne bei x 0 = 0 die Werte der nuøøten 1 bis fünften Abøeitung von f und die Werte der nicht-triviaøen 2 Abøeitungen von g 1 , g 3 und g 5 ! Vergøeiche! Man erhält: f (0) = 0 = g 5 (0) = g 3 (0) = g 1 (0) f’(0) = 1 = g 5 ’(0) = g 3 ’(0) = g 1 ’(0) f’’(0) = 0 = g 5 ’’(0) = g 3 ’’(0) = g 1 ’’(0) f’’’(0) = ‒1 = g 5 ’’’(0) = g 3 ’’’(0) f IV (0) = 0 = g 5 IV (0) = g 3 IV (0) = g 1 IV (0) f V (0) = 1 = g 5 V (0) Fig. 4.17 y = x y x 1 0 1 y = sinx y = x – x 6 3 y = x – x x 6 120 + 3 5 Du siehst: Der Graph von g i schmiegt sich umso besser an den Graphen von f bei x 0 an, in je mehr Ableitungen f und g i bei x 0 wertmäßig übereinstimmen. Dieser Sachverhalt gibt Anlass zur Definition Es sei f eine Funktion mit nicht-triviaøer n-ter Abøeitung. Stimmt eine Funktion g in den Werten der 0-ten bis n-ten Abøeitung 3 mit f bei x 0 überein, so sagt man: – f und g berühren einander bei x 0 von n-ter Ordnung, oder auch – f und g haben bei x 0 genau n + 1 zusammengerückte (infinitesimaø benachbarte) Punkte gemeinsam. Bemerkung: Der Begriff „zusammengerückt (infinitesimal benachbart)“ ist als Grenzwert zu verstehen. Letztendlich handelt es sich nur um einen einzigen Punkt, dessen Entstehungsprozess eben durch diese Sprechweise verdeutlicht werden soll. 2. Funktionen durch TAYLOR-Polynome approximieren Der Sachverhalt der Berührung zweier Kurven (Funktionsgraphen) kann zur Approximation einer („komplizierten“) Funktion f durch eine („einfachere“) Funktion g bei x 0 benützt werden. Als „einfachs- te“ Funktionen bieten sich dazu insbesondere die Polynomfunktionen an. Die Approximation von f durch eine lineare Funktion (Polynom 1. Grades) benützen wir seit langem; es ist dies die Approximation durch die Tangente an f bei x 0 . Genügt diese Approximation nicht den Erfordernissen, so kann man ein Polynom 2., 3. oder noch höhe- ren Grades 4 verwenden, sofern ein solches überhaupt existiert. 1 Die nullte Ableitung einer Funktion f ist die Funktion selbst. 2 Die Ableitung einer Funktion f heißt nicht-trivial oder nicht identisch verschwindend, wenn sie ungleich der identischen Nullfunktion y = 0 ist. 3 Für g wird nicht gefordert, dass g (n) ungleich der identischen Nullfunktion ist. Sonst könnte ja zB die x-Achse die Funktion f: y = x 3 bei x 0 = 0 nicht approximieren! 4 Das ist der Grund, warum wir nun anders als bisher die Glieder des Polynoms nach aufsteigenden Exponenten ordnen. 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv