Reichel Mathematik 7, Schulbuch

160 Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 In analoger Weise findet man für die Funktion e x die Potenzreihe e x = x 0 __ 0! + x 1 __ 1! + x 2 __ 2! + x 3 __ 3! + x 4 __ 4! + … = ; i = 0 • x i _ i! Vielfach lässt sich das Bildungsgesetz der Potenzreihe aus den approximierenden Polynomen nicht so leicht erkennen. Als Ausweg bietet sich dabei unter Umständen die geometrische Reihe (vgl. Buch 6. Kl. S. 151) an: Beispiel G Entwickøe die Funktion f: y = 4 ___ 2 + x bei x 0 = 0 in eine Potenzreihe! Lösung: Wir formen den Funktionsterm um: y = 2· 1 _____ 1 – “ ‒ x _ 2 § Der Bruch kann gemäß der Formeø s • = 1 ___ 1 – q aøs Summe der unendøichen geometrischen Reihe 1 + “ ‒ x _ 2 § + “ ‒ x _ 2 § 2 + “ ‒ x _ 2 § 3 + … aufgefasst werden. Insgesamt erhäøt man daher y = 2· “ 1 – x _ 2 + x 2 __ 4 – x 3 __ 8 + – … § = 2· ; i = 0 • (‒1) i · x i __ 2 i = ; i = 0 • (‒1) i · x i ___ 2 i – 1 , i * N Zuletzt hat man sich bei jeder unendlichen Reihe die Frage nach der Konvergenz der Reihe zu stellen. Mit anderen Wor- ten: Welche x darf man einsetzen, damit die Reihe konver- giert? Im Fall der Funktion in Beispiel G ziehen wir den Konver- genzsatz für unendliche geometrische Reihen zu Rate (vgl. Buch 6. Kl. S. 151). Wegen † q † < 1 und q = ‒x/2 erhält man: † x † < 2 . Man sagt: Die Funktion f: y = 4/(2 + x) lässt sich bei x 0 = 0 in eine Potenzreihe mit dem Konvergenzintervall ]‒2;2[ entwickeln. Erøäutere den Sachverhaøt anhand von Fig. 4.18! Im Fall der Reihe für sin x (Fig. 4.17 auf S. 158) darf man je- des x * R einsetzen, dh. das Konvergenzintervall ist ]‒ • ; • [ . Gleiches gilt für die Reihe für e x . Begründe ! 628 Lange Zeit harrte das Probøem des Hornwinkeøs (Figur) einer Lösung. Einerseits berühren die beiden Kreise einander offensichtøich, anderseits schøießen sie offensichtøich einen Winkeø, eben den Hornwinkeø , ein. Versuche den „Widerspruch” zu øösen! 629 Erøäutere anhand der Funktionen g: y = 0 und 1 f: y = x 2 , 2 f: y = x 3 , 3 f: y = x 4 , 4 f: y = x 5 für x 0 = 0 die Sprechweise: „Berühren f und g bei x 0 einander von n-ter Ordnung, so sagt man: f und g besitzen bei x 0 einen Schnittpunkt der Vieøfachheit n + 1.“ 630 Wie vieøe zusammengerückte Punkte haben eine Funktion f und ihre a Tangente, b Wendetangente beim Berührpunkt (x 0 † f (x 0 )) mindestens gemeinsam? 631 Die Funktion 1 f: y = cos x, 2 f: y = tan x soøø bei x 0 = 0 durch ein Poøynom n-ten Grades approximiert werden. Weøche Bedingung muss das Poøynom erfüøøen? Erøäutere anhand einer Skizze! 632 Approximiere f bei x 0 durch ein Poøynom n-ten Grades! Berechne damit den Funktionswert bei 1 0,1 rad, 2 0,5 rad, 3 1 rad! Vergøeiche mit den Werten des Taschenrechners! a f: y = cos x, x 0 = 0, n = 4 b f: y = tan x, x 0 = 0, n = 5 A 641 Fig. 4.18 y x 1 0 1 y =2 . (1 – x 2 x 4 2 x 8 3 x 16 4 + + – ) y =2 . (1 – x 2 x 4 2 x 8 3 + – ) y = 4 2 + x A 642 155152-160 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv