Reichel Mathematik 7, Schulbuch

161 4.3 Approximation von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung – TAYLOR-Polynome und Potenzreihen 4 633 Approximiere f bei x 0 durch ein Poøynom n-ten Grades! Fertige eine Zeichnung an! a f: y = cos x, x 0 = ‒ π , n = 2 b f: y = cos x, x 0 = π , n = 3 c f: y = cos x, x 0 = ‒ π , n = 4 d f: y = cos x, x 0 = π , n = 5 634 Approximiere f bei x 0 durch ein Poøynom n-ten Grades! a f: y = sin x, x 0 = π /2, n = 2 b f: y = cos x, x 0 = π /2, n = 3 c f: y = sin x, x 0 = π /2, n = 4 d f: y = cos x, x 0 = π /2, n = 5 e f: y = sin x, x 0 = π /4, n = 3 f f: y = cos x, x 0 = π /4, n = 3 635 Wie Aufg. 634. a f: y = 9 _ x, x 0 = 1, n = 3 b f: y = 3 9 _ x, x 0 = 1, n = 3 636 Wie Aufg. 634. a f: y = arcsin x, x 0 = 0, n = 3 b f: y = arctan x, x 0 = 0, n = 3 637 Entwickøe die angegebene Funktion f bei x 0 1 mit Hiøfe der geometrischen Reihe, 2 mitteøs Differentiaø- rechnung in eine Potenzreihe und ermittøe das Konvergenzintervaøø! a f: y = 1 ___ 1 – x , x 0 = 0 b f: y = 1 ___ 1 + x , x 0 = 0 c f: y = 2 ___ 4 + x , x 0 = 0 d f: y = 4 ___ 3 – x , x 0 = 0 638 Wie Aufg. 637. a f: y = 1 ____ 1 – x 2 , x 0 = 0 b f: y = 1 ____ 1 + x 2 , x 0 = 0 639 Weøche Funktion wird durch die foøgende Potenzreihe (mit weøchem Konvergenzintervaøø) dargesteøøt? a f (x) = ; i = 0 • 3 ____ (1 – x) i , i * N b f (x) = ; i = 0 • 4 ____ (2 + x) i , i * N c f (x) = ; i = 0 • 2 _____ (x 2 + 1) i , i * N d f (x) = ; i = 0 • 3 _____ (1 – x 2 ) i , i * N 640 Begründe anhand der Figur in Beispieø K auf S. 122, warum f: y = 9 ______ 1 – sin x bei x 0 = 3 π /2 in eine Potenzrei- he entwickeøt werden kann, nicht jedoch bei x 0 = π /2! 641 Entwickøe e x in die auf S. 159 angegebene Potenzreihe! 642 Begründe, warum die Potenzreihe von a sin x, b e x das Konvergenzintervaøø ]‒ • ; • [ besitzt! 643 Erøäutere anhand a der Fig. 4.19, b der Fig. 4.20 den Begriff „Konvergenzintervaøø“! Fig. 4.19 y = e x y = 1+ x y = 1 x y 1 0 1 x 2 2 x 2 x 3 y = 1 + x + 2 6 + x 2 x 3 x 4 2 6 + 24 + x 2 x 3 x 4 x 5 y = 1 + x + 2 6 + 24 + 120 + y = 1 + x + y = 1 + x + Fig. 4.20 y x 1 0 1 y = 1– x 2 + x 4 – x 6 + x 8 y = 1 – x 2 + x 4 – x 6 y = 1– x 2 + x 4 y = 1 1+x 2 155152-161 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv