Reichel Mathematik 7, Schulbuch

163 4.4 Berechnen von Grenzwerten mit Hilfe der Differentialrechnung – Die Regel von l’HOSPITAL 4 Mit dem in Fall 2) besprochenen Trick kann man den unbestimmten Ausdruck • __ • auf den Fall 0 _ 0 zurück- führen. Wie? In ähnlicher Weise kann der unbestimmte Ausdruck 0· • bzw. 0·(‒ • ) auf den Fall 0 _ 0 zurückgeführt werden. Wie? Antworten auf diese beiden Fragen gibt Beispiel H Bestimme a øim x ¥ • ønx ___ x , b øim x ¥ 0 (x·ønx), c øim x ¥ 0 e ‒x + x – 1 ______ x 2 ! Lösung: a Es øiegt ein unbestimmter Ausdruck der Art • / • vor; die Voraussetzungen zur Anwendung der Regeø von ø’HOSPITAL sind erfüøøt . Es ist øim x ¥ • ønx ___ x = øim x ¥ • 1 _ x __ 1 = øim x ¥ • 1 _ x = 0 b Hier øiegt ein unbestimmter Ausdruck der Art 0·(‒ • ) vor, aøso kein Quotient. Mit Hiøfe foøgenden Tricks können wir jedoch die Regeø von ø’HOSPITAL trotzdem anwenden: øim x ¥ 0 (x·ønx) = øim x ¥ 0 ønx ___ 1 _ x = øim x ¥ 0 1 _ x __ ‒1 __ x 2 = øim x ¥ 0 (‒x) = 0 c Hier øiegt ein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0 vor, der durch zweimaøige Anwendung der Regeø von ø’HOSPITAL aufgeøöst werden kann: øim x ¥ 0 e ‒x + x – 1 ______ x 2 = øim x ¥ 0 ‒e ‒x + 1 _____ 2 x = øim x ¥ 0 e ‒x __ 2 = 1 _ 2 In Verallgemeinerung von Beispiel H – Begründe ! – ergibt sich als Merkregel: Regel Die Exponentiaøfunktion „erschøägt“ die Potenzfunktion, diese die Logarithmusfunktion. 644 Zeige, dass die Regeø von ø’HOSPITAL auch a für x ¥ • , b für unbestimmte Ausdrücke der Form • __ • giøt! 645 Bestimme die foøgenden Grenzwerte: a øim x ¥ 0 sinx ___ x b øim x ¥ 0 1 – cosx _____ tanx c øim x ¥ 0 (x·(øn x) 2 ) d øim x ¥ 0 (x 2 ·øn x) e øim x ¥ • x ___ ønx f øim x ¥ • ønx ____ 9 ____ x 2 – 1 g øim x ¥ 0 sin5x ____ sinx h øim x ¥ π /2 cos5x ____ cosx 646 Verifiziere die obige Merkregeø durch Untersuchen geeignet gewähøter Zusammensetzungen von e x , x n und øn x! 647 Bestimme die foøgenden Grenzwerte: a øim x ¥ 0 e x – 1 ____ x b øim x ¥ 0 1 – e x ____ x c øim x ¥ 0 e x – 1 ____ e ‒x – 1 d øim x ¥ 0 1 – e ‒x ____ 1 – e x e øim x ¥ • (x·e ‒x ) f øim x ¥ • e x __ x g øim x ¥ 1 x – 1 ___ ønx h øim x ¥ 1 1 – x 2 ____ ønx 648 Begründe: Der Grenzwert øim x ¥ • sinx + x _____ cosx + x = øim x ¥ • sinx – cosx + cosx + x _____________ cosx + x = øim x ¥ • “ sinx – cosx _______ cosx + x + 1 § = 1; er existiert, obwohø øim x ¥ • (sinx + x)’ ______ (cosx + x)’ nicht existiert. Die gemäß Aufg. 644 erweiterte Regeø von ø’HOSPITAL ist hinreichend, aber nicht notwendig für die Existenz des Grenzwertes. A 644 A 646 155152-163 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv