Reichel Mathematik 7, Schulbuch

183 5.3 Kreistangenten 5 Beispiel H Berechne den Winkeø, den die Gerade g: x + 5 y = 26 mit dem Kreis k: (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 13 einschøießt 1 mit, 2 ohne Ermittøung der Schnittpunkte! Lösung: 1 g: x + 5 y = 26 w x = 26 – 5 y ergibt in die Kreisgøeichung k eingesetzt: (23 – 5 y) 2 + (y – 2) 2 = 13 529 – 230 y + 25 y 2 + y 2 – 4 y + 4 = 13 26 y 2 – 234 y + 520 = 0 w y 2 – 9 y + 20 = 0 y 1,2 = 9 ± 9 ____ 81 – 80 _______ 2 = 9 ± 1 ___ 2 w y 1 = 5, y 2 = 4 w S 1 (1 1 5), S 2 (6 1 4) Durch impøizites Differenzieren erhäøt man die Steigung der Kreistangente in S 1 : 2 (x – 3) + 2 (y – 2)y’ = 0 w y’ = k k = ‒ x – 3 ___ y – 2 w k k (S 1 ) = ‒ 1 – 3 ___ 5 – 2 = 2 _ 3 w φ 1 = 33,69° Die Steigung der Geraden ist k g = ‒ 1 _ 5 w φ 2 = ‒11,31° Den Schnittwinkeø erhaøten wir daher durch φ = φ 1 – φ 2 = 33,69° + 11,31° = 45° 2 Wir berechnen d (M, g) mitteøs der HESSE’schen Abstandsformeø. Dazu wähøen wir auf g einen beøiebigen Punkt, zB A (‒4 1 6): d (M, g) = † ___ À AM· __ À n 0 † = † “ 3 – (‒4) 2 – 6 § · 1 ___ 9 __ 26 · “ 1 5 § † = † 1 ___ 9 __ 26 · “ 7 ‒4 § · “ 1 5 § † = 13 ___ 9 __ 26 = 9 __ 13 __ 2 cos φ = d _ r = 9 __ 13 __ 2 ___ 9 __ 13 = 1 __ 9 _ 2 w φ = 45° 4. Schnittwinkel zwischen zwei Kreisen berechnen Analog zu oben gilt: Unter dem Schnittwinkel zweier Kreise versteht man jenen Winkel, den die beiden Kreistangenten (bzw. Radien) in einem der Schnittpunkte einschließen. Berühren die beiden Kreise ein- ander, so ist die Größe des „Schnittwinkels“ 0° ; existieren zwei reell-getrennte Schnittpunkte, so sind die Schnittwinkel aus Symmetriegründen jeweils gleich groß. Beispiel E (Fortsetzung) Berechne den Schnittwinkeø, den die beiden Kreise k 1 [M(4 1 ‒2); 9 __ 10] und k 2 [M(‒1 1 3); 9 __ 20] mit- einander einschøießen, auf zwei Arten! Lösung: 1 Durch Differenzieren: Aus Beispieø E kennen wir die Schnittpunkte S 1 (1 1 ‒1) und S 2 (3 1 1). k 1 : (x – 4) 2 + (y + 2) 2 = 10 w 2 (x – 4) + 2 (y + 2)·y’ = 0 w y’ = ‒ x – 4 ___ y + 2 w y’ 1 (S 1 ) = ‒ ‒3 __ 1 = 3 k 2 : (x + 1) 2 + (y – 3) 2 = 20 w 2 (x + 1) + 2 (y – 3)·y’ = 0 w y’ = ‒ x + 1 ___ y – 3 w y’ 2 (S 1 ) = ‒ 2 __ ‒4 = 0,5 Für den Schnittwinkeø φ erhaøten wir daher: φ = φ 1 – φ 2 = 71,57° – 26,57° = 45° š 135° 2 Mitteøs des Winkeøs zwischen den Radien ___ À S 1 M 1 = (3 1 ‒1) und ___ À S 1 M 2 = (‒2 1 4). cos φ = ___ À S 1 M 1 · ___ À S 1 M 2 ____________ † ___ À S 1 M 1 † · † ___ À S 1 M 2 † = ‒6 – 4 _____ 9 __ 10· 9 __ 20 = ‒1 __ 9 _ 2 φ = 135° š 45° x 1 0 1 y M 2 S 1 M 1 Ć Ć S 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv