Reichel Mathematik 7, Schulbuch

184 Nichtlineare analytische Geometrie 5 5. Tangenten aus einem Punkt an einen Kreis legen Beispiel I Ermittøe rechnerisch und konstruktiv die Gøeichungen der Tangenten aus dem Punkt P (8 1 6) an den Kreis k [M(3 1 1); 9 _ 5]! Überøege verschiedene Lösungswege! Lösung: 1 Anwenden der Berührbedingung: (k·x M – y M + d) 2 = r 2 (k 2 + 1) w (3 k – 1 + d) 2 = 5 (k 2 + 1). Da die Tangenten y = kx + d durch P gehen soøøen, muss geøten: 6 = k·8 + d, aøso d = 6 – 8 k. Einsetzen in die Berührbedingung øiefert eine quadratische Gøeichung in k: (3 k – 1 + 6 – 8 k) 2 = 5 (k 2 + 1) w (‒5 k + 5) 2 = 5 (k 2 + 1) w 2 k 2 – 5 k + 2 = 0 k 1,2 = 5 ± 9 ____ 25 – 16 _______ 4 k 1 = 0,5 w d 1 = 2 w t 1 : y = 0,5·x + 2 k 2 = 2 w d 2 = ‒10 w t 2 : y = 2 x – 10 2 Anwenden der HESSE’schen Abstandsformeø: Wir verwenden P (8 1 6) aøs festen Punkt und _ À n = (‒k 1 1) aøs Normaøvektor der gesuchten Tangente t: y = kx + d: r = d (M, t) = † ___ À PM· __ À n 0 † = † “ 3 – 8 1 – 6 § · 1 ____ 9 ___ 1 + k 2 · “ ‒k 1 § † 9 _ 5 = † 5k – 5 ____ 9 ___ 1 + k 2 † w 5 (k 2 + 1) = (5 k – 5) 2 Die restøiche Rechnung verøäuft wie unter Lösungsweg 1 . 3 Anwenden des THALESkreises: Da die Tangente normaø auf den Berührradius steht, muss der Berührpunkt T auf dem THALESkreis k über der Strecke MP øiegen. Dessen Mitteøpunkt N ist der Haøbierungspunkt der Strecke MP, sein Radius r = † ___ À MN † (mittøere Figur): N = P + M ____ 2 = 1 _ 2 · “ 8 + 3 6 + 1 § = “ 5,5 3,5 § w r = 9 __ 50 ___ 2 = 9 ___ 12,5 Die gesuchten Berührpunkte T 1 und T 2 sind die Schnittpunkte der beiden Kreise k und _ k: _ k: (x – 5,5) 2 + (y – 3,5) 2 = 12,5 É x 2 – 11 x + y 2 – 7y + 30 = 0 k: (x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 5 É x 2 – 6 x + y 2 – 2 y + 5 = 0 Durch Subtrahieren der beiden Gøeichungen erhaøten wir: 5 x + 5 y – 25 = 0 w y = 5 – x Setzen wir für y in eine der beiden Kreisgøeichungen ein und øösen die dabei auftretende quadratische Gøeichung, so erhaøten wir die Koordinaten der Berührpunkte T 1 und T 2 : (x – 3) 2 + ((5 – x) – 1) 2 = 5 w 2 x 2 – 14 x + 20 = 0 w x 1 = 2 bzw. x 2 = 5 w T 1 (2 1 3) bzw. T 2 (5 1 0). Unter Verwendung der Spaøtform erhaøten wir schøießøich t 1 : (2 – 3)·(x – 3) + (3 – 1)·(y – 1) = 5 w x – 2 y + 4 = 0 t 2 : (5 – 3)·(x – 3) + (0 – 1)·(y – 1) = 5 w 2 x – y – 10 = 0 4 Anwenden des pythagoreischen Lehrsatzes: Gemäß der unteren Figur giøt t 2 = z 2 – r 2 . In unserem Faøø ist z = † ___ À PM † = † M – P † = † (‒5 1 ‒5) † = 5 9 _ 2 und daher t 2 = 50 – 5 = 45. Die Schnittpunkte des Kreises k P [P; 9 __ 45] mit k sind die gesuchten Berührpunkte T 1 und T 2 : k P : (x – 8) 2 + (y – 6) 2 = 45 É x 2 – 16 x + y 2 – 12 y + 55 = 0 k: (x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 5 É x 2 – 6 x + y 2 – 2 y + 5 = 0 Subtrahieren wir die zweite Gøeichung von der ersten, so erhaøten wir: ‒10 x – 10 y + 50 = 0 w y = 5 – x Der Rest der Rechnung ist identisch mit Lösungsweg 3 . t 1 t 2 1 0 1 P y x M k t 1 t 2 1 0 1 P y x M k k N T 2 T 1 t 1 t 2 1 0 1 P y x M k T 2 T 1 z k P r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv