Reichel Mathematik 7, Schulbuch

197 5.5 Hyperbel 5 3. Hyperbel (in 1. Hl) mit Hilfe einer Parameterdarstellung beschreiben Um eine zur Parameterdarstellung der Ellipse analoge für die Hyperbel zu erhalten, führen wir zwei neue Funktionen ein, die Funktionen Sinushyperbolicus sinh und Cosinushyperbolicus cosh : sinh t = e t – e ‒t ____ 2 t * R bzw. cosh t = e t + e ‒t ____ 2 t * R Diese Funktionen haben nämlich eine zu den trigonometrischen Funktionen ähnliche Eigenschaft, näm- lich cosh 2 t – sinh 2 t = 1 , da ja cosh 2 t – sinh 2 t = “ e t + e ‒t ____ 2 § 2 ‒ “ e t – e ‒t ____ 2 § 2 = 1 _ 4 ·(e 2t + 2 + e ‒2t – e 2t + 2 – e ‒2t ) = 1 Wenn wir nun in der Parameterdarstellung der Ellipse ( x = a cos t , y = b sin t ) die trigonometrischen Funktionen durch die entsprechenden Hyperbelfunktionen ersetzen, erhalten wir die Parameterdar- stellung des rechten bzw. linken Astes der Hyperbel in 1. Hl: x = a cosh t x = ‒a·cosh t y = b sinh t t * R bzw . y = b·sinh t t * R was wir durch Einsetzen in die Hyperbelgleichung in 1. Hl leicht beweisen können: x 2 __ a 2 – y 2 __ b 2 = cosh 2 t – sinh 2 t = 1 762 Von einer Hyperbeø in erster Hauptøage sind zwei der drei Größen a, b und e gegeben. 1 Ermittøe die Gøeichung der Hyperbeø! 2 Berechne die Koordinaten der Scheiteø und der Brennpunkte! 3 Gib die Gøeichungen der Asymptoten an! 4 Konstruiere die Hyperbeø! a a = 15, b = 20 b a = 32, b = 20 c a = 24, b = 24 d a = 30, b = 21 e a = 20, e = 30 f a = 24, e = 30 g b = 15, e = 25 h b = 20, e = 32 763 Wie Aufg. 762 für eine Hyperbeø in zweiter Hauptøage. a a = 20, b = 24 b a = 26, b = 15 c a = 30, e = 35 d b = 22, e = 30 764 Von einer Hyperbeø in Hauptøage ist die Gøeichung gegeben. 1 Berechne a und b! 2 Berechne die Koordinaten der Scheiteø und der Brennpunkte! a 4 x 2 – 9 y 2 = 36 b 16 x 2 – 25 y 2 = 400 c x 2 – 4 y 2 = 16 d 4 x 2 – 9 y 2 = 144 e 5 x 2 – 4 y 2 = 80 f 9 x 2 – 5 y 2 = 225 g ‒x 2 + 4 y 2 = 36 h ‒4 x 2 + y 2 = 64 765 Von einer Hyperbeø in erster Hauptøage sind zwei Punkte P und Q gegeben. 1 Ermittøe die Gøeichung der Hyperbeø! 2 Berechne a, b und e! 3 Berechne die Koordinaten der Scheiteø und der Brennpunkte! 4 Gib die Gøeichungen der Asymptoten an! a P (4 1 ‒3), Q (6 1 6) b P (2 1 1), Q (‒7 1 4) c P (3,75 1 ‒3), Q (‒5 1 16/3) d P (20,8 1 12), Q (‒10 1 ‒3,75) e P (‒6 1 ‒6), Q (4 1 ‒3) f P (7 1 4), Q (‒2|1) g P (6 1 ‒4 9 _ 2), Q (5 1 3) h P (9 1 3 9 _ 2), Q (‒5 1 2) i P (3 1 0), Q (‒ 9 __ 18|‒2) 766 Von einer Hyperbeø in zweiter Hauptøage sind zwei Punkte P und Q gegeben. 1 Ermittøe die Gøeichung der Hyperbeø! 2 Berechne a, b und e! 3 Berechne die Koordinaten der Scheiteø und der Brennpunkte! a P (3 9 _ 5/4 1 3), Q (3 9 __ 21/4 1 5) b P (‒3 9 _ 5/2 1 3), Q (3 9 _ 3 1 ‒4) 767 Leite die Gøeichung einer Hyperbeø in erster Hauptøage anaøog zu S. 191 her! 768 Zeige, dass es sich um eine Parameterdarsteøøung einer Hyperbeø in Hauptøage handeøt! Weøcher Punkt ist bei c und d ausgeschøossen? Weøchen Laufbereich hat dabei der Parameter? a x = a sinh t b x = a cosh (t + π ) c x = a 1 + u 2 ____ 1 – u 2 d x = a 2u ____ 1 – u 2 y = b cosh t y = b sinh (t + π ) y = b 2u ____ 1 – u 2 y = b 1 + u 2 ____ 1 – u 2 769 a Leite aus der Brennpunktseigenschaft die Gøeichung einer Hyperbeø in zweiter Hauptøage her! b Zeige, dass für aøøe Punkte, die die Gøeichung erfüøøen, die Brennpunktseigenschaft giøt! + 155152-197 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv