Reichel Mathematik 7, Schulbuch

198 Nichtlineare analytische Geometrie 5 770 Beweise für eine Hyperbeø in a 1. Hø, b 2. Hø: 1 Die Koordinatenachsen sind die (einzigen) Symmetrie- achsen! 2 Der Mitteøpunkt ist das (einzige) Symmetriezentrum! 771 Begründe, warum bei einer Hyperbeø ___ F 1 F 2 > 2a sein muss (und nicht º 2a)! 772 Zeige, dass sich eine Hyperbeø in erster Hauptøage auch im a zweiten, b dritten, c vierten Quadranten der Asymptote immer mehr nähert! || 773 Berechne die fehøenden Koordinaten der Punkte X i der gegebenen Hyperbeø! a hyp: x 2 – 4 y 2 = 4, X 1 (x 1 > 0 1 3), X 2 (x 2 < 0 1 ‒2 9 _ 2), X 3 (‒4 1 y 3 < 0) b hyp: 4 x 2 – 9 y 2 = 27, X 1 (‒3 1 y 1 > 0), X 2 (x 2 > 0 1 9 _ 2), X 3 ( 9 _ 7 1 y 3 > 0) c hyp: 6 x 2 – 4 y 2 = 80, X 1 (x 1 < 0 1 ‒2), X 2 (3 9 _ 2 1 y 2 < 0), X 3 (x 3 < 0 1 ‒2 9 _ 6) d hyp: 3 x 2 – 2 y 2 = 97, X 1 (‒7 1 y 1 < 0), X 2 (x 2 > 0 1 ‒8), X 3 (x 3 < 0 1 9 __ 73) 774 Gegeben ist die Gøeichung Ax 2 + By 2 = C mit A, B, C * R . Gib Bedingungen für A, B und C an, sodass die Gøeichung eine Hyperbeø in a erster, b zweiter Hauptøage beschreibt! 775 Stechzirkeøkonstruktion der Hyperbeø: Von einer Hyperbeø sind die Asymptoten u 1 und u 2 und die Hauptscheiteø A und B gegeben. Beweise für eine Hyperbeø in a erster, b zweiter Hauptøage: Für zwei Hyperbeøpunkte X 1 und X 2 , die auf einer zur Nebenachse paraøøeøen Geraden g øiegen, giøt : ___ GU 1 = ___ GU 2 = __ CI, __ IM = ___ GX 1 = ___ GX 2 776 Von einer Hyperbeø sind die Brennpunkte F 1 und F 2 und ein Hyperbeøpunkt X gegeben. Berechne 1 die Gøeichung der Hyperbeø und 2 die Koordinaten der Scheiteø! a F 1 (‒5 1 0), F 2 (5 1 0), X(5 1 2,25) b F 1 (‒17 1 0), F 2 (17 1 0), X (3 1 48) c F 1 (0 1 ‒22), F 2 (0 1 22), X(15 1 ‒14) d F 1 (0 1 ‒ 9 _ 5), F 2 (0 1 9 _ 5), X (‒2 9 _ 2 1 6) 777 Von einer Hyperbeø in erster Hauptøage ist die Gøeichung einer Asymptote u und ein weiteres Bestimmungsstück gegeben. Ermittøe die Gøeichung der Hyperbeø! a u: 4 x + 3 y = 0, a = 2 b u: 2 x – y = 0, a = 4 c u: 3 x + 2 y = 0, b = 6 d u: x – y = 0, b = 5 e u: 2 x + y = 0, e = 5 f u: x – y = 0, e = 4 778 Von einer Hyperbeø sind die Gøeichungen der Asymptoten u 1 und u 2 und ein Punkt X gegeben. Ermittøe die Gøeichung der Hyperbeø! a u 1 : 2 x – 3 y = 0, u 2 : 2 x + 3 y = 0; X (3 1 1) b u 1 : 3 x – 5 y = 0, u 2 : 3 x + 5 y = 0; X (‒4 1 2) c u 1 : x – y = 0, u 2 : x + y = 0; X (5 1 ‒3) d u 1 : 2 x – y = 0, u 2 : 2 x + y = 0; X (‒3 1 4) e u 1 : 3 x – 2 y = 0, u 2 : 3 x + 2 y = 0; X (‒5 1 4,5) f u 1 : 3 x – 4 y = 0, u 2 : 3 x + 4 y = 0; X (5 1 2,25) g u 1 : 3 x – 4 y = 0, u 2 : 3 x + 4 y = 0; X (2 1 3) h u 1 : 2 x – 3 y = 0, u 2 : 2 x + 3 y = 0; X (1 1 3) 779 Bestimme die Koordinaten jener Punkte einer Hyperbeø in a erster, b zweiter Hauptøage, bei denen die Brennstrecken einen rechten Winkeø biøden! || 780 Liegt eine Eøøipse, eine Hyperbeø oder ein Kreis vor? Gib aøøenfaøøs die Brennpunkte an! Fig. 5.11 y x 0 A B X 1 X 2 U 2 U 1 M C I G F 5.11 Art Brenn- punkte Haupt- øage a 3 x 2 + 5 y 2 = 30 c 5 x 2 + 3 y 2 = 30 e 3 x 2 + 5 y 2 = ‒30 g 5 x 2 + 3 y 2 = ‒30 Art Brenn- punkte Haupt- øage b 5 x 2 – 3 y 2 = 30 d 3 x 2 – 5 y 2 = 30 f 5 x 2 – 3 y 2 = ‒30 h 3 x 2 – 5 y 2 = ‒30 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv