Reichel Mathematik 7, Schulbuch

199 5.6 Parabel 5 Parabel 1. Parabel mittels Brennpunktseigenschaft definieren Die Parabel haben wir bereits in der 5. Klasse bei Proportionalitäten höherer Ordnung kennen gelernt (vgl. Buch 5. Kl. S. 146). Hier verwenden wir als Definition aber eine Eigenschaft der Parabel, die an die Definition der Ellipse und Hyperbel erinnert. Definition Eine Parabeø ist die Menge aøøer in einer Ebene ε øiegenden Punkte X, von denen jeder von einer gegebenen Geraden dieser Ebene, der so genannten Leitgeraden ø, und von einem festen Punkt dieser Ebene, dem Brennpunkt F, jeweiøs gøeichen Abstand hat: par = {X * ε‡ _ Xø = __ XF} Beispiel L Konstruiere die Parabeø, für die giøt: __ øF = 2 cm Lösung: Wir ziehen zu ø eine Paraøøeøe im Abstand d und schneiden diese mit dem Kreis(bogen) um F mit dem Radius d. Jeder Schnittpunkt ist ein Parabeøpunkt X. F ............................................. Brennpunkt ø .............................................. Leitgerade Xø, XF .................................... Leitstrecke bzw. Brennstrecke d (F, ø) = p ............................ Parameter (p/2 = e) A ............................................ Scheiteø a ............................................. Achse Die Parabel besitzt eine zur Leitlinie ø normale Symmetrieachse a . Ist L der Schnittpunkt von a mit ø , so gilt: Der Scheitel A ist der Halbierungspunkt der Strecke LF . Begründe anhand der Definition der Parabeø! 2. Gleichung der Parabel angeben und anwenden Wir legen das Koordinatenkreuz so, dass der Scheitel A im Ursprung und der Brennpunkt F auf der po- sitiven x-Achse liegt. Diese Lage heißt erste Hauptlage . Somit ist A (0 1 0) , F (e 1 0) , e = p/2 > 0 . Dadurch geht die Beziehung ___ XF = __ Xø über in: 9 ______ (x – e) 2 + y 2 = x + e x 2 – 2ex + e 2 + y 2 = x 2 + 2ex + e 2 y 2 = 4ex Wegen 4e = 2p erhält man die Satz Gøeichung einer Parabeø in erster Hauptøage (1. Hø): par: y 2 = 2px Beispiel L (Fortsetzung) Überprüfe, ob P (3 1 4) auf der Parabeø øiegt! Lösung: __ øF = 2 = p w par: y 2 = 4 x P (3 1 4) erfüøøt wegen 4 2 ≠ 4·3 die Gøeichung nicht, dh. P + par. 5.6 A p F a d X d L ø x y 0 155152-199 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv