Reichel Mathematik 7, Schulbuch

202 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Schnitt- und Berühraufgaben 1. Lage einer Geraden zu einem Kegelschnitt bestimmen Wie beim Kreis kann eine Gerade bezüglich eines Kegelschnitts drei verschiedene Lagen annehmen, und zwar: 1. Die Gerade g kann den Kegelschnitt in zwei Punkten, den Schnittpunkten , schneiden: g ° k = {S 1 ; S 2 } . Die Gerade ist eine Sekante. 2. Die Gerade g kann den Kegelschnitt in einem Punkt, dem Berührpunkt , berühren: g ° k = {T} . Die Ge- rade ist eine Tangente. 3. Die Gerade g kann an dem Kegelschnitt vorbeigehen: g ° k = { } . Die Gerade ist eine Passante. Wie können wir rechnerisch feststeøøen, weøcher der drei Fäøøe vorøiegt? Beispiel M Untersuche, in weøchen Fäøøen die Eøøipse in erster Hauptøage b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 und eine Gerade g: y = kx + d gemeinsame Punkte haben! Lösung: Setzen wir y aus der Geradengøeichung in die Eøøipsengøeichung ein, so erhaøten wir: b 2 x 2 + a 2 (kx + d) 2 = a 2 b 2 w (a 2 k 2 + b 2 ) x 2 + 2a 2 dkx + a 2 (d 2 – b 2 ) = 0 x 1,2 = ‒a 2 kd ± 9 ______________ a 4 d 2 k 2 – (a 2 k 2 + b 2 ) a 2 (d 2 – b 2 ) _____________________ a 2 k 2 + b 2 Je nachdem, ob die Diskriminante a 4 d 2 k 2 – (a 2 k 2 + b 2 ) a 2 (d 2 – b 2 ) = a 4 d 2 k 2 – a 4 d 2 k 2 + a 4 b 2 k 2 – a 2 b 2 d 2 + a 2 b 4 = a 2 b 2 (a 2 k 2 + b 2 – d 2 ) > 0, = 0 oder < 0 ist, treten zwei reeøø getrennte Schnittpunkte, ein Berührpunkt oder kein gemeinsamer Punkt auf. 2. Berührbedingungen kennen und anwenden Hat der in Beispiel M abgeleitete Term a 2 b 2 (a 2 k 2 + b 2 – d 2 ) den Wert 0 , so ist die Gerade g Tangente. Mit anderen Worten: Die Gleichung a 2 k 2 + b 2 – d 2 = 0 ist eine Bedingung dafür, dass die Gerade Tangente an die Ellipse ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Berührbedingung für den Kreis . Bei der Hyperbel und der Parabel können analog zu Beispiel M Berührbedingungen hergeleitet werden : Satz Berührbedingungen für Kegeøschnitte in erster Hauptøage: Eøøipse: d 2 = a 2 k 2 + b 2 Hyperbeø: d 2 = a 2 k 2 – b 2 Parabeø: p = 2kd 3. Tangenten an Kegelschnitte legen Um die Gleichung einer Tangente in einem Punkt eines Kegelschnitts herzuleiten, können wir deren Steigung k durch implizites Differenzieren berechnen. Wir demonstrieren dies an Beispiel N Leite die aøøgemeine Form der Gøeichung der Tangente in einem Punkt T(x T 1 y T ) der Eøøipse in erster Hauptøage b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 her! Lösung: Die Gøeichung der Tangente t in T øässt sich darsteøøen durch y – y T = k (x – x T ). Die Steigung der Tangente erhaøten wir durch impøizites Differenzieren der Eøøipsengøeichung: b 2 ·2 x + a 2 ·2 yy’ = 0 w y’ = k = ‒ b 2 x T ___ a 2 y T (y T ≠ 0) daher y – y T = ‒ b 2 x T ___ a 2 y T ·(x – x T ) w a 2 y T y + b 2 x T x = b 2 x T 2 + a 2 y T 2 = a 2 b 2 aøso (ausgenommen in den Hauptscheiteøn – Warum?): t: b 2 x T x + a 2 y T y = a 2 b 2 5.7 S 182 A 796 A 797 155152-202 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv