Reichel Mathematik 7, Schulbuch

203 5.7 Schnitt- und Berühraufgaben 5 Bemerkungen: 1) Es lässt sich zeigen, dass die in Beispiel N hergeleitete Formel auch für die Scheitel der Kegelschnit- te gilt ! 2) Die Form der Gleichung wird (wie beim Kreis – vgl. S. 181) Spaltform genannt. Der Name leitet sich davon ab, dass x 2 in x·x T und y 2 in y·y T aufgespalten wird. 3) Statt die Ellipsengleichung implizit zu differenzieren hätte man auch die Parameterdarstellung verwenden und wie beim Kreis vorgehen können : Satz Spaøtform der Tangentengøeichungen für Kegeøschnitte in erster Hauptøage: t eøø : b 2 xx T + a 2 yy T = a 2 b 2 t hyp : b 2 xx T – a 2 yy T = a 2 b 2 t par : yy T = p (x + x T ) Bemerkungen: 1) Bei der Parabelgleichung erfolgt das „Aufspalten“ durch Zerlegen von 2 x in x + x T ! 2) Analoge Gleichungen erhält man für die anderen Hauptlagen durch Aufspalten der entsprechenden Kegelschnittsgleichung. Mit diesen Formeln lassen sich unschwer die bereits vom Kreis her bekannten Aufgaben lösen. Beispiel O Bestimme die Gøeichungen der Tangenten an die Hyperbeø hyp: x 2 – 25 y 2 = 10, die paraøøeø zur Geraden g: 7x – 15 y = 5 sind! Lösung: Es ist k = 7 __ 15 , a 2 = 10 und b 2 = 10 __ 25 = 2 _ 5 . Wegen der Berührbedingung giøt: d 2 = a 2 k 2 – b 2 = 10· “ 7 __ 15 § 2 – 2 _ 5 = 98 __ 45 – 18 __ 45 = 16 __ 9 w d 1,2 = ± 4 _ 3 Somit erhaøten wir die Gøeichungen t 1 : y = 7 __ 15 x + 4 _ 3 bzw. 7x – 15 y + 20 = 0 sowie t 2 : y = 7 __ 15 x – 4 _ 3 bzw. 7x – 15 y – 20 = 0. Beispiel P Lege vom Punkt S (‒6 1 6) an die Parabeø par: y 2 = 48 x die Tangenten t 1 und t 2 ! 1 Ermittøe deren Gøeichungen und die Koordinaten ihrer Berührpunkte T 1 und T 2 ! 2 Berechne die Größe des Winkeøs φ , den die Tangenten t 1 und t 2 einschøießen! 3 Berechne den Føächeninhaøt des Dreiecks ST 1 T 2 ! Lösung: 1 Die Gøeichung einer Tangente t sei y = kx + d. Da P * t w 6 = ‒6 k + d w d = 6 k + 6. Weiters giøt die Berührbedingung p = 2 kd w 24 = 2 k (6k + 6) w 2 = k (k + 1) w k 2 + k – 2 = 0 w k 1 = 1 und k 2 = ‒2. Daher ist d 1 = 12 und d 2 = ‒6, und die Tangentengøeichungen øauten: t 1 : y = x + 12 und t 2 : y = ‒2 x – 6. Die Berührpunkte können 1 mitteøs eines Koeffizientenvergøeichs ermitteøt werden. Die Spaøtform der Tangentengøeichung øautet yy T = 24 (x + x T ) w y = 24 __ y T ·x + 24 x T ___ y T Daher erhaøten wir durch den Vergøeich mit t 1 : y = x + 12 foøgende Gøeichungen für die Koordinaten von T 1 : 1 = 24 __ y T und 12 = 24 x T ___ y T w y T = 24 und x T = 12 y T ___ 24 = 12 w T 1 (12 1 24) Anaøog ergibt sich T 2 (3 1 ‒12). 2 Den Winkeø φ erhaøten wir am einfachsten aus den beiden Steigungen: k 1 š 45° und k 2 š ‒63,43° w φ = φ 1 – φ 2 = 45° – (‒63,43°) = 108,43° š 71,57°. 3 Es ist __ À ST 1 = (12 1 24) – (‒6 1 6) = (18 1 18) bzw. __ À ST 2 = (9|‒18), daher ist ‡ __ À ST 1 ‡ = 18· 9 _ 2 bzw. ‡ __ À ST 2 ‡ = 9· 9 _ 5. Der Føächeninhaøt ergibt sich aus der trigonometrischen Føächenformeø: A = 1 _ 2 ·(18· 9 _ 2)·(9· 9 _ 5)·sin71,57° = 243 1 Eine andere Möglichkeit besteht darin, t 1 und t 2 mit der Parabel zu schneiden. A 799 A 801 A 802 S 190 S 181 A 800 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv