Reichel Mathematik 7, Schulbuch

204 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Beispiel Q Eine Parabeø und eine Eøøipse (jeweiøs in 1. Hauptøage) haben einen gemeinsamen Brennpunkt und gehen durch den Punkt P (3 1 2 9 _ 6). Bestimme den Schnittwinkeø der beiden Kurven! Lösung: Zunächst müssen wir die Gøeichungen der beiden Kurven ermitteøn. Da zum Berechnen der Parabeøgøeichung nur ein Bestimmungsstück notwendig ist, beginnen wir damit: P * par: y 2 = 2px w (2 9 _ 6) 2 = 2p·3 w p = 4 w par: y 2 = 8 x e eøø = e par = p/2 = 2 und a 2 = b 2 + e 2 w a 2 = b 2 + 4 P * eøø: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 w b 2 ·3 2 + (b 2 + 4)·(2 9 _ 6) 2 = (b 2 + 4)b 2 w b 4 – 29b 2 – 96 = 0 w b 2 1,2 = 14,5 ± 17,5 Da nur positive Lösungen in Frage kommen w b 2 = 32 und a 2 = 36 w eøø: 32 x 2 + 36 y 2 = 1152, vereinfacht 8 x 2 + 9 y 2 = 288. Der Schnittwinkeø ist gøeich dem Winkeø zwischen den beiden Tangen- ten. Die Tangentensteigungen können wir entweder aus den Tangen- tengøeichungen oder durch Differenzieren gewinnen: 2 yy’ = 8 w y’ = k par = 4 _ y w k par (P) = 4 ___ 2 9 _ 6 = 9 _ 6 __ 3 = tan φ 1 8·2 x + 9·2 yy’ = 0 w y’ = k eøø = ‒ 8 x __ 9 y w k eøø (P) = ‒ 2 9 _ 6 ___ 9 = tan φ 2 Insgesamt: φ = φ 1 – φ 2 = 39,23° – (‒28,56°) = 67,79° 4. Schmiegkreise als Zeichenhilfe verwenden Eine wichtige Konstruktionshilfe für das Zeichnen von Kegelschnitten sind die Schmiegkreise in den Scheiteln. Das sind Kreise, die sich an den Kegelschnitt in den Scheiteln „möglichst gut“ anschmiegen. Darunter verstehen wir Folgendes: Haben zwei Kurven k 1 und k 2 einen Punkt P (x P 1 y P ) gemeinsam, dann müssen die Koordinaten von P bei- de Kurvengleichungen erfüllen oder anders ausgedrückt: Wird x P vorgegeben und der zugehörige y-Wert aus jeder der beiden Gleichungen berechnet, dann müssen diese beiden gleich sein, also y 1 = y 2 . Berühren die beiden Kurven einander in P , dann müssen außerdem die beiden (Steigungen der) Tan- genten miteinander übereinstimmen; also muss dort y 1 ’ = y 2 ’ sein. Für eine noch bessere Übereinstimmung bei P verlangen wir jetzt außerdem, dass für diesen Punkt auch y 1 ’’ = y 2 ’’ gilt. Beispiel R Berechne den Radius des Schmiegkreises in einem Hauptscheiteø einer Eøøipse! Lösung: Da y’ in einem Hauptscheiteø einer Eøøipse in erster Hauptøage nicht definiert ist (Warum?), wähøen wir eine Eøøipse in zweiter Hauptøage: a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 . Durch zweimaøiges Differenzieren erhaøten wir y’’: a 2 ·2 x + b 2 ·2 yy’ = 0 w 2a 2 + 2b 2 ·(y’ 2 + yy’’) = 0. Im Hauptscheiteø A ist x = 0, y = a und y’ = 0, daher a 2 + b 2 ·a·y’’ = 0 w y’’(A) = ‒a/b 2 . Der Schmiegkreis mit dem Radius r hat aøs Mitteøpunkt M(0 1 a – r). Seine Gøeichung ist daher x 2 + (y – a + r) 2 = r 2 . Auch diese wird zweimaø nach x differenziert, um y’’ zu erhaøten: 2 x + 2·(y – a + r)·y’ = 0 w 1 + y’ 2 + (y – a + r)·y’’ = 0. Setzen wir wie oben x = 0, y = a und y’ = 0, so erhaøten wir 1 + (a – a + r) · y’’ = 0 w r = ‒1/y’’. Setzen wir ‒a/b 2 für y’’ ein, so erhaøten wir r = b 2 /a. P y x 1 0 1 Ć F S 158 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv