Reichel Mathematik 7, Schulbuch

234 Exkurs 5 Die Kugel als Ebene Fotografieren wir die Erde vom Weltall aus , so erhalten wir ein zwei- dimensionales Abbild, eine Karte, die allerdings die Erde umso verzerrter darstellt, je mehr man sich dem Kartenrand nähert. Leider ist es prinzipiell unmöglich , eine Kugel verzerrungsfrei auf eine Ebene abzubilden (etwa durch „Abwickeln“, wie du beim Schälen einer Orange erkennen kannst). Wir müssen uns also mit (und auch das nur in gewissen Bereichen) annä- hernd verzerrungsfreien Karten begnügen. F 1 Zu deren Konstruktion brauchen wir ein mathema- tisches Modell, um Positionen auf der Erdober- fläche von räumlichen in ebene Koordinaten um- zuwandeln, und zwar so, dass die kugelförmig ge- krümmte Erdoberfläche auf eine ebene Karte ab- gebildet wird. Wegen der Abplattung an den Polen ähnelt die Erde zwar mehr einem Drehellipsoid als einer Kugel, aber das wollen wir im Folgenden ver- nachlässigen. Ein Punkt A der Erdkugel wird i.Allg. durch karte- sische Koordinaten A (x 1 y 1 z) oder Kugelkoordina- ten A (r 1θ1φ ) angegeben, wobei θ die geographische Breite und φ die geographische Länge bedeuten. Den Zusammenhang zwischen diesen beiden Koor- dinatensystemen kannst du aus Fig. 2 ablesen: ø Ć Ćø x x y y z r z A(x;y;z) (r; ; ) Fig. 2 x = r cos θ cos φ , y = r cos θ sin φ , z = r sin θ mit r = 9 ________ x 2 + y 2 + z 2 . Begründe! Kartenprojektionen haben jeweils gewisse mathe- matische Eigenschaften bzw. Beschränkungen. Sie erhalten zB die Flächeninhalte (sind flächentreu) oder die Winkelgrößen (sind winkeltreu). Dagegen ist die Längentreue stets nur für eine wohl defi- nierte Linie zu erhalten. Daher kann man nur für diese Linie einen Kartenmaßstab angeben. Aller- dings sind die Abweichungen etwa für eine Karte von Österreich so gering, dass sie nicht ins Gewicht fallen. Bei Weltkarten hingegen kann dieser Um- stand nicht vernachlässigt werden. Je nachdem wofür eine Karte verwendet werden soll, wird man auf die Flächentreue (Gebietsvergleiche) oder Win- keltreue (See- oder Luftkarten) mehr Gewicht le- gen. Grundsätzlich hat man zwei Entscheidungen zu treffen und zwar die Wahl der Projektionsfläche und die des Projektionszentrums: 1. Man wählt die Projektionsfläche (eine Ebene oder in die Ebene abwickelbare Flächen wie Drehzylinder oder Drehkegel . Kegel Ebene Zylinder Fig. 3 2. Man wählt das Projektionszentrum P – im Unendlichen ¥ orthographische Projektion – im Erdmittelpunkt ¥ zentrale Projektion – im Gegenpol ¥ stereographische Projektion. P P P 30° 60° Zentralprojektion Projektionsstrahl orthographisch stereographisch Fig. 4 S 219 F 3 F 4 Fig. 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv