Reichel Mathematik 7, Schulbuch

237 6.0 Wiederholung, Vorübungen und Vorschau 6 Definition Gegeben ist eine Liste k x i l von insgesamt n Werten, von denen m verschieden sind. Die Werte x 1 , x 2 , …, x m treten mit den absoøuten Häufigkeiten h 1 , h 2 , …, h m (mit h 1 + h 2 + … + h m = n) bzw. mit den reøativen Häufigkeiten r 1 , r 2 , …, r m (mit r 1 + r 2 + … + r m = 1) auf. Dann heißt die Zahø _ x = x 1 ·h 1 + x 2 ·h 2 + … + x m ·h m _______________ n = x 1 ·r 1 + x 2 ·r 2 + … + x m ·h m (gewichteter bzw. gewogener) arithmetischer Mitteøwert oder Durchschnittswert der Liste. Der am häufigsten in der Liste auftretende Wert heißt Modaøwert oder Modus m . Jene Zahø, die „die Mitte“ der nach der Größe geordneten Liste beschreibt, heißt Median oder Zentraøwert z . (Eine Liste kann nur einen Median, aber mehrere Modaøwerte besitzen.) Die Differenz zwischen dem größten Wert ( Maximum ) x max und dem køeinsten Wert ( Minimum ) x min der Liste heißt Spannweite (Range) R . Für die folgenden Überlegungen besonders wichtig sind darüber hinaus Kennzahlen, welche die „Brei- te“ der Verteilung bezogen auf einen ihrer Mittelwerte beschreiben, also angeben, welchen „Abstand“ die x i durchschnittlich von diesem Mittelwert haben; kurz: wie stark die x i um diesen „Mittelwert“ streu- en. Man nennt sie Streuungsmaße oder auch Dispersionsparameter 1 . Das allerwichtigste Maß ist die Standardabweichung, auch (missverständlich) nur Streuung genannt: Definition Treten die x i mit den reøativen Häufigkeiten r 1 , r 2 , …, r m mit r 1 + r 2 + … + r m = 1 auf, so heißt die Zahø σ = 9 _____________________________ (x 1 – _ x) 2 ·r 1 + (x 2 – _ x) 2 ·r 2 + … + (x m – _ x) 2 ·r m Standardabweichung der Listeneøemente x i von ihrem arithmetischen Mitteø _ x. Die Sinnhaftigkeit dieser Definition wird uns erst in der 8. Klasse klar werden. Geometrisch sofort einsichtig ist hingegen das folgende Streuungsmaß: Definition Aøs mittøere øineare (bzw. absoøute) Abweichung der m verschiedenen Werte x i vom Wert c bezeichnet man die Zahø d c = 1 _ n ·( † x 1 – c † ·h 1 + † x 2 – c † ·h 2 + … + † x m – c † ·h m ) mit h 1 + h 2 + … + h m = n In diese allgemeine Definition wird für c meist der Zentralwert z eingesetzt . Beispiel A (Fortsetzung) Weøcher ist der 3 køeinste, 4 größte Wert, den X annimmt? 5 Weøchen Wert nimmt X durch- schnittøich an und um wie vieø schwankt diese Zahø durchschnittøich? 6 Weøchen Wert nimmt X am häufigsten an? 7 Berechne den Median z! Lösung: 3 x min = 0, 4 x max = 13 (aøs Spannweite ergibt sich R = 13 – 0 = 13), 5 _ x = 7,1 und σ = 3,26. 6 Es gibt einen einzigen Modaøwert, nämøich 9. 7 z = 7,5 Für eine sinnvolle Ausstattung der Unfallabteilung sollte man auch andere Phänomene statistisch un- tersuchen, etwa wie oft welcher Körperteil mit welcher Schwere und welchen Schmerzen verletzt ist. Die kennzeichnenden Datentypen sind grundverschieden und erlauben/verlangen jeweils andere Kenn- zahlen zur Beschreibung. Körperteile können nur namentlich Klassen (wie Kopf, Bein usw.) zugeordnet werden: die Daten sind nominal-skaliert . Mittelwerte sind hier zB sinnlos. Der Verletzungsschwere kann man auch Klassen zuweisen, darüber hinaus aber mittels > und < ordnen : die Daten sind ordinal- skaliert . Der Zentralwert ist zB sinnvoll, nicht aber das arithmetische Mittel. Schmerzen können zu- sätzlich zu diesen beiden Skalierungen noch intervall-skaliert werden, etwa an der üblichen zehnteili- gen Skala. Allerdings genügt diese Skala noch nicht den Anforderungen an metrische Skalen ; Letzere haben (wie zB die benötigte Bettenanzahl aber anders als der Schmerzgrad) einen objektiv definierbaren Nullpunkt und gestatten Verhältnis-Vergleiche wie etwa „die Abteilung benötigt am Montag doppelt so viele Betten wie am Dienstag“. Erøäutere ! 1 dispergere (lat.) … zerstreuen A 1003 A 955 A 955 A 964 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv