Reichel Mathematik 7, Schulbuch

238 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6 2. Den Denkansatz der beurteilenden Statistik verstehen Die in (der Fortsetzung von) Beispiel A ermittelte Statistik kann nun dazu dienen, die eingangs gestellte Frage zu „beantworten“. Die aus der 30-Tage-Stichprobe berechneten Kennzahlen können als Schätz- werte für den monatlich zu erwartenden Bedarf dienen. Insbesondere verwendet man – den aus der relativen Häufigkeit r (x i ) eines Ereignisses X = x i gewonnenen Wert als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit 1 P (X = x i ) des Eintretens eben dieses Ereignisses. – den aus dem arithmetischen Mittelwert x gewonnenen Wert als Schätzwert für den Erwartungswert E (X) der Zufallsvariablen X . (Die Anzahl X der benötigten Betten ist ja eine vom Zufall abhängige Größe.) – die aus der Verteilung der relativen Häufigkeiten r (x i ) , i = 1 , …, m gewonnene Verteilung zum Schätzen der Wahrscheinlichkeitsverteilung . Beim Schätzen des Bedarfs muss man nicht unbedingt „blind“ abwarten, bis die 30-Tage-Stichprobe zur Gänze vorliegt („gezogen“ wurde), sondern kann natürlich die Statistik jeden Tag aufgrund der schon vorliegenden Daten aktualisieren. Manche Parameter (wie etwa der aktuelle Modalwert) nehmen wohl unabhängig („ohne Gedächtnis“) von den bisherigen Modalwerten völlig neue Werte an, andere wie das arithmetische Mittel oder die Standardabweichung hingegen nicht. Diese haben insofern ein „Gedächt- nis“, als in ihre Berechnung der Ballast der Werte von allen vorangegangenen Tagen eingeht. Das hat Vor- und Nachteile. Der Vorteil ist, dass man so täglich „bessere“ Prognosewerte für die Parameter der endgültigen Mo- nats-Stichprobe erhält (besser: erwarten darf), weil die neu hinzugekommen Werte die bisherigen Para- meterwerte im Normalfall wohl nicht allzu stark verändern, während beim Modalwert auch starke Ausreißer – und damit Wertänderungen – nicht auszuschließen sind. Der Nachteil ist, dass die stets vollkommen neue Berechnung nach den Formeln auf S. 237 mühsam ist. Zum Glück kann man die Formel für das arithmetische Mittel in eine Rekursionsformel umwandeln, die den neuen, sich mit jedem weiteren Merkmalswert x i ändernden Mittelwert einfacher berechnen lässt. Das Ergebnis ist eine Folge von arithmetischen Mittelwerten, die die Folge (Zeitreihe) k x i l der Merkmalswerte glättet . Man spricht in diesem Zusammenhang von einem (mit-)laufenden oder gleitenden Mittelwert , der sich für i ¥ n um den Mittelwert _ x der Gesamtstichprobe stabili- siert . Du kennst solche gleitenden Mittelwerte vom Computer in Form des Fortschrittsbalkens samt Restzeitanzeige . Erkøäre ! Beispiel A (Fortsetzung) Steøøe die Urøiste der benötigten Betten graphisch aøs Zeitreihe dar und trage den mitøaufenden Mitteøwert ein! Bei weøchem Wert stabiøisiert sich der gøeitende Mitteøwert? Lösung: Er stabiøisiert sich bei _ x = 7,1. Statt der täglich aktualisierten oder erst am Monatsende erstellten Monats-Statistik könnte man natür- lich auch wöchentlich eine eigene Statistik erstellen. Dabei erhebt sich die Frage, ob, und wenn ja, wie sich aus den jeweils vier wöchentlichen Parameterwerten der zugehörige Parameterwert für die Monats-Statistik berechnen lässt (wobei dann nur 28 Tage berücksichtigt werden). Oder allgemeiner formuliert: Wie lassen sich aus den Parameterwerten zweier oder auch mehrerer Teillisten ( Sublisten ) die zugehörigen Parameterwerte für die ganze Liste errechnen ? 1 P steht für Probability (engl.) … Wahrscheinlichkeit A 973 Fig. 6.1 A 971 A 971 F 6.1 A 972 A 968 Unfälle 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 15 20 25 30 Zeit Tage Gleitender Mittelwert Unfälle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv