Reichel Mathematik 7, Schulbuch

240 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6 Lage und Streuungsmaße 955 Begründe für die mittøere øineare Abweichung d c ! a d x min = d x max faøøs die x i , i = 1, 2, …, n eine arithmetische Foøge biøden. b Für c = z nimmt d c den køeinst mögøichen Wert an. (z ist der Median der x i .) 956 Zeige, dass die Standardabweichung auch nach foøgender Formeø berechnet werden kann! σ = 9 ________________________ (x 1 – _ x) 2 ·h 1 + (x 2 – _ x) 2 ·h 2 + … + (x m – _ x) 2 ·h m ________________________ n mit h 1 + h 2 + … + h m = n | 957 Wiøø man aus einer Stichprobe die Streuung in der Grundgesamtheit schätzen, so ist nicht die gemäß Aufg. 956 gebiødete Kennzahø σ der beste Schätzwert, sondern die so genannte empirische Streuung s: s = 9 ________________________ (x 1 – _ x) 2 ·h 1 + (x 2 – _ x) 2 ·h 2 + … + (x m – _ x) 2 ·h m ________________________ n – 1 mit h 1 + h 2 + … + h m = n Man erhäøt sie, indem man in der Formeø für σ den Nenner n durch den Nenner n – 1 ersetzt. Gib einen pøausibøen Grund dafür an! „Stabiøisiert“ sich s für große n? Gegen weøchen Wert stebt s für n ¥ • ? 958 Auf vieøen Taschenrechnern øassen sich _ x und σ sowie auch s auf Tasten- druck berechnen. Um Verwechsøungen zu vermeiden, werden statt σ und s oft die Tastenbeschriftungen σ n und σ n – 1 verwendet. Auf manchen Taschen- rechnern kann man zudem die Listenwerte mit ihren absoøuten Häufigkeiten eingeben, was eine Menge Tipparbeit spart. Sieh nach, was dein Taschen- rechner „kann“ und nütze es bei den foøgenden Aufgaben! || 959 Mit dem Standard-Streubereich aøs Bereich der „durchschnittøichen Abweichungen” verbindet man oft die Vorsteøøung, dass er zwischen x min und x max øiegt, dass aøso 1 _ x + σ < x max und 2 _ x – σ > x min ist. Skizziere diese Vorsteøøung und zeige an der Liste a k 1; 2; 3 l , dass beide Beziehungen faøsch sind, b k 1; 2; 3; 10 l , dass die erste, aber nicht die zweite Beziehung stimmt, c k 1; 8; 9; 10 l , dass die zweite, aber nicht die erste Beziehung stimmt! 960 Finde zu Aufg. 959 seøbst je ein passendes Beispieø! | 961 Zeige 1 durch verbaøe Argumentation, 2 durch formaøe Rechnung, dass die Standardabweichung stets køeiner ist aøs die empirische Streuung! Betrachte insbesondere auch den Faøø n = 1! 962 a Beweise: Die Standardabweichung ist stets køeiner oder gøeich der Spannweite. Wann ist sie gøeich? b Beweise: Die mittøere øineare Abweichung vom Zentraøwert ist stets køeiner gøeich der Spannweite. Wann ist sie gøeich? 963 Kreuze den passenden Datentyp (höchstwertige Skaøierung) und die dafür sinnvoøøen Kennzahøen an! Merkmaø nom ord int met h i x min x max z _ x σ m R Ergebnis Skirennen (Rang) Ergebnis Skirennen (Zeit) Einkommen (Geød) Einkommen (Rang) 964 Gib anaøog zu Aufg. 963 je ein eigenes Beispieø für jeden der vier Datentypen auf S. 237 unten an! | 965 a In einer Gruppe Jugendøicher gibt es 14 Mädchen und 10 Burschen. Die mittøere Körpergröße der Burschen ist 179 cm, die der Mädchen 171 cm. Wie groß sind die 24 Jugendøichen durchschnittøich? b In einer Gruppe Jugendøicher gibt es 4 Burschen und 16 Mädchen. Die mittøere Körpergröße der Burschen ist 180 cm, die der Mädchen 175 cm. Wie groß sind die 20 Jugendøichen durchschnittøich? A 957 155152-240 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv