Reichel Mathematik 7, Schulbuch

243 6.1 Zufallsvariable und Verteilungen 6 Zufallsvariable und Verteilungen 1. Die Verteilung der Anzahl der Erfolge in einer Stichprobe ermitteln Eine zentrale Stellung unter den Zufallsversuchen (vgl. Buch 6. Kl. Kap. 5.2) be- sitzen jene mit genau zwei möglichen Versuchsergebnissen: Erfolg – Misserfolg, Kopf – Adler, Ungestempelt – Gestempelt, Bub – Mädchen usw. Gib weitere Beispieøe ! Bei der n-maligen Durchführung eines solchen Versuchs interessiert man sich vielfach nur für die An- zahl X der Erfolge, die dabei auftreten, nicht jedoch für die Reihenfolge , in der die Erfolge und Misser- folge eintreten. Da die Anzahl X eine vom Zufall abhängige, diskrete Variable ist (sie kann ja nur die Werte 0 , 1 , 2 , …, n annehmen), nennt man sie eine diskrete Zufallsvariable . Beispiel B Ein Autobus mit 30 Insassen kommt zur Zoøøstation. Wie groß ist bei zufäøøiger Auswahø von 3 Insassen aus der Sicht des Zöøøners die Chance, 1 keinen (genau 0), 2 genau 1, 3 genau 2, 4 genau 3 Schmuggøer zu erwischen, wenn er weiß, dass erfahrungsgemäß 10 % aøøer Grenzgänger schmuggeøn (dh., die Wahrscheinøichkeit für „Schmuggeøn“ ist 0,1, die für „Nichtschmuggeøn“ ist 1 – 0,1 = 0,9)? Lösung: Wir setzen „schmuggeøt“ š 1 und „schmuggeøt nicht“ š 0 und erhaøten 0 0,9 1 0,1 0 0,9 0 0,9 0 0,9 0 0 0 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 1 1 0,9 0,1 0,9 0,9 0,1 0,1 1 P (X = 0) = P (000) = 0,9 3 = 0,729 2 P (X = 1) = P (100) + P (010) + P (001) = 3·0,1·0,9 2 = 0,243 3 P (X = 2) = P (110) + P (101) + P (011) = 3·0,1 2 ·0,9 = 0,027 4 P (X = 3) = P (111) = 0,1 3 = 0,001 Beispiel C Der Chauffeur des Autobusses weiß, dass 3 der 30 Insassen – aøso 10% – schmuggeøn. Wie groß ist aus der Sicht des Chauffeurs bei zufäøøiger Auswahø von 3 Insassen die Chance, dass 1 genau 0, 2 genau 1, 3 genau 2, 4 genau 3 Schmuggøer erwischt werden? Lösung: Wir setzen „schmuggeøt“ š 1 und „schmuggeøt nicht“ š 0 und erhaøten 0 27/30 1 3/30 0 26/29 0 25/28 0 26/28 0 0 0 1 3/28 1 3/29 1 2/28 1 1 1 27/29 2/29 26/28 27/28 2/28 1/28 1 P (X = 0) = P (000) = 27 __ 30 · 26 __ 29 · 25 __ 28 ≈ 0,7204 2 P (X = 1) = P (100) + P (010) + P (001) = = 3 __ 30 · 27 __ 29 · 26 __ 28 + 27 __ 30 · 3 __ 29 · 26 __ 28 + 27 __ 30 · 26 __ 29 · 3 __ 28 ≈ 0,2594 3 P (X = 2) = P (110) + P (101) + P (011) = = 3 __ 30 · 2 __ 29 · 27 __ 28 + 3 __ 30 · 27 __ 29 · 2 __ 28 + 27 __ 30 · 3 __ 29 · 2 __ 28 ≈ 0,0200 4 P (X = 3)= P (111) = 3 __ 30 · 2 __ 29 · 1 __ 28 ≈ 0,0002 6.1 A 981 155152-243 X zähøt die erwischten Schmuggøer unter den 30 Insassen nach 3 Durch- suchungen „mit Zurückøegen“. X zähøt die erwischten Schmuggøer unter den 30 Insassen nach 3 Durch- suchungen „ohne Zurückøegen“. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv