Reichel Mathematik 7, Schulbuch

244 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6 Wieso können der Zöøøner und der Chauffeur zu einer (wenn auch nicht sehr) un- terschiedøichen Einschätzung der offenbar gøeichen Situation kommen? Die Situation ist eben nicht die gleiche: Vom Informationsstand des Zöllners bleibt die Wahrscheinlichkeit, einen Schmuggler zu erwischen, bei jedem Zug gleich. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind unbedingt (Buch 6. Kl. Kap. 5.6) und hängen daher nur von der Schmuggel-Wahrscheinlichkeit p = 0,1 und vom Umfang n der Stichprobe, nicht aber von der Anzahl N der Insassen im Autobus ab. Mathematisch kann man die Situation durch 3-maliges Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit zB 30 Kugeln ( 27 „ 0 “-Ku- geln und 3 „ 1 “-Kugeln) oder auch mit zB 10 Kugeln ( 9 „ 0 “-Kugeln und 1 „ 1 “-Kugel) simulieren. Vom Informationsstand des Chauffeurs ändert sich die Wahrscheinlichkeit, einen Schmuggler zu erwi- schen, von Zug zu Zug. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind bedingt (Buch 6. Kl. Kap. 5.6) und hän- gen vom Umfang n der Stichprobe, von der Anzahl N aller Insassen und der Anzahl M der Schmuggler ab. Mathematisch kann man die Situation daher durch dreimaliges Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 30 Kugeln ( 27 „ 0 “-Kugeln und 3 „ 1 “-Kugeln) simulieren – nicht aber mit 10 Kugeln ( 9 „ 0 “-Ku- geln und 1 „ 1 “-Kugel). Die unterschiedlichen Informationsstände bewirken unterschiedliche Modelle und daher eine unterschied- liche Einschätzung der Situation. Je nachdem, welches Modell man zugrunde legt, erhält man eine andere Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die Werte X = 0 bis X = 3 der Zufallsvariablen X . Man spricht – im ersten Fall (Beispiel B) von einer binomial-verteilten Zufallsvariablen X , – im zweiten Fall (Beispiel C) von einer hypergeometrisch-verteilten Zufallsvariablen X . Wir werden diese beiden Verteilungen in Kap. 6.3 und 6.4 genauer behandeln. 2. Die Begriffe Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion wissen Die Anzahl der Erfolge (bzw. Misserfolge) in einer Stichprobe vom Umfang n ist nur ein – wenn auch sehr wichtiger – Typ einer Zufallsvariablen. Ganz allgemein versteht man unter einer Zufallsvariablen X eine Größe, die – unter dem Einfluss des „Zufalls“ – reelle Zahlen x als Werte annimmt (realisiert). Etwas mathematischer ausgedrückt: Eine Zu- fallsvariable ist eine Funktion , welche Ereignissen, die vom Zufall abhängen, jeweils genau eine reelle Zahl zuordnet. Diese Auffassung erklärt die obige (zu y = f (x) analoge) Schreibweise X = x . Die Wahrscheinlichkeiten, mit der X ihre Realisationen x jeweils annimmt, beschreiben die Verteilung der Zufallsvariablen . Je nachdem, ob X einzelne (höchstens abzählbar unendlich viele „diskret“ liegen- de) Zahlen x annehmen kann oder die (überabzählbar vielen) Zahlen eines bestimmten Intervalls, spricht man von einer diskreten oder kontinuierlichen Zufallsvariablen sowie von einer diskreten oder kontinuierlichen Verteilung der Zufallsvariablen. Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable, auf solche wollen wir uns im Folgenden beschränken 1 , legt man üblicherweise wie folgt fest: – entweder gibt man für jedes x i die Wahrscheinlichkeit P (X = x i ) seines Auftretens an, – oder man gibt die Wahrscheinlichkeit P (X ª x) an, mit der die Zufallsvariable einen Wert x i ª x (x * R ) annimmt. Diese Wahrscheinlichkeit kann man durch Aufsummieren der P (X = x i ) aller x i ª x bilden: Definition Die Funktion f: R ¥ [0; 1], y = P (X = x i ), i * N * heißt Wahrscheinøichkeitsfunktion F: R ¥ [0; 1], y = P (X ª x) = ; x i ª x f (x i ), x * R heißt Verteiøungsfunktion der diskreten Zufaøøsvariabøen X mit den mögøichen Reaøisationen x i mit i = 1, 2, … 1 Auf kontinuierliche Verteilungen gehen wir erst in der 8. Klasse ein. Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv