Reichel Mathematik 7, Schulbuch

245 6.1 Zufallsvariable und Verteilungen 6 Mit Hilfe dieser Funktionen kann man dann Fragen formulieren und beantworten, die (etwa) von fol- gender Art sind: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsvariablen X 1 genau 4 , 2 mindestens 4 , 3 höchstens 4 , 4 mehr als 4 , 5 weniger als 4 ist? Schreibe diese Fragesteøøungen in der Form P (X … 4) mit Hiøfe der Zeichen = , <, >, ª, º, ! Beispiel B (Fortsetzung) Beschreibe die Verteiøung der Zufaøøsvariabøen X sowohø mitteøs der Wertetabeøøe aøs auch mitteøs des Graphen a der Wahrscheinøichkeitsfunktion, b der Verteiøungsfunktion! Vergøeiche die Eigenschaften der beiden Funktionen! Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass X 1 höchstens 1, 2 mindestens 2 ist? Wo erscheinen die Ergebnisse im Graphen der Wahrscheinøichkeitsfunktion? Wo erscheinen sie in der Verteiøungsfunktion? Lösung: a f (0) = P (X = 0) = 0,729 f (1) = P (X = 1) = 0,243 f (2) = P (X = 2) = 0,027 Funktionswerte f (3) = P (X = 3) = 0,001 Der Graph besteht aus øauter isoøierten Punkten. Die Funktion ist streng monoton faøøend. 1 0 1 1 x f(x) b F (0) = P (X ª 0) = 0,729 F (1) = P (X ª 1) = 0,729 + 0,243 = 0,972 F (2) = P (X ª 2) = 0,972 + 0,027 = 0,999 Sprunghöhen F (3) = P (X ª 3) = 0,999 + 0,001 = 1 Die Funktion ist stetig mit Sprungsteøøen bei den x i und streng monoton wachsend. 2 0 1 1 x F(x) 1 P (X höchstens 1) = P (X ª 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0,729 + 0,243 = 0,972 2 P (X mindestens 2) = P (X º 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0,027 + 0,001 = 0,028 | 981 Gib mindestens drei eigene Beispieøe von Zufaøøsvariabøen an, die genau zwei Reaøisationen besitzen! | 982 Wie vieøe Reaøisationen besitzt die Zufaøøsvariabøe 1 „Famiøienstand”, 2 „Schuøarbeitsnote”, 3 „Schuøstufe einer AHS”? Inwieweit ist es berechtigt, hier von einer Zufaøøsvariabøen zu sprechen? Von weøchem Typ ist sie? | 983 Handeøt es sich (eher) um eine diskrete oder (eher) um eine kontinuierøiche Zufaøøsvariabøe? Weøche Kennzahøen sind sinnvoøø? a Körpergewicht eines Menschen b Körpergröße eines Menschen c Schuhgröße eines Menschen d Hutgröße eines Menschen e Tagesumsatz eines Geschäfts f Verkaufspreis einer bestimmten Ware g Rangpøatz bei Skirennen h Stärke eines Erdbebens || 984 In einer Sendung von 8 Stück einer Ware sind 2 Stück beschädigt. Dieser Sendung werden 4 Stück 1 mit, 2 ohne Zurückøegen entnommen. Es sei X die Anzahø der beschädigten Stücke in der Stichprobe. Zeich- ne den Graphen der Wahrscheinøichkeitsfunktion und der Verteiøungsfunktion von X! || 985 Wie Aufg. 984 für eine Sendung von 9 Stück, von denen 4 Stück beschädigt sind und a 3 Stück, b 2 Stück entnommen werden. 1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen können, müssen aber nicht monoton sein. 2 Verteilungsfunktionen sind stets monoton steigend. A 987 155152-245 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv