Reichel Mathematik 7, Schulbuch

247 6.2 Erwartungswert und Varianz 6 Erwartungswert und Varianz 1. Den Begriff Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen definieren können Neben den sehr detaillierten Fragen und Antworten in den Beispielen B und C liegt die folgende Fra- ge auf der Hand: Wie viele Erfolge darf die Zollwache auf „lange Sicht“ gesehen im Mittel erwarten, wenn sie n Personen kontrolliert? Die Antwort „im Nachhinein“ ist klar: ; i = 1 n x i ·r (x i ) . Dabei sind die x i die möglichen Realisationen der An- zahl X der Erfolge; X ist also eine Zufallsvariable. Will man die Antwort „im Vorhinein“ wissen, wird man r (x i ) durch P (X = x i ) prognostizieren . Definition Aøs Erwartungswert E (X) der diskreten Zufaøøsvariabøen X bezeichnet man die Zahø E (X) = μ = ; i = 1 n x i ·P (X = x i ) Der Erwartungswert E (X) ist in ebensolcher Weise ein Prognosewert für den Mittelwert _ x , wie die Wahr- scheinlichkeit P (X = x i ) ein Prognosewert für die relative Häufigkeit r (x i ) ist. Beispiel B (Fortsetzung) Weøche Anzahø von ertappten Schmuggøern (kurz: wie vieøe Erfoøge) darf die Zoøøbehörde bei drei Kontroøøen aus Sicht des Zöøøners erwarten? Interpretiere das Ergebnis kritisch! Zeichne μ im Schaubiød der Wahrscheinøichkeitsfunktion ein! Lösung: Wir biøden E (X) gemäß Definition: P (X = 0) = 0,729 0·0,729 = 0 P (X = 1) = 0,243 1·0,243 = 0,243 P (X = 2) = 0,027 2·0,027 = 0,054 P (X = 3) = 0,001 3·0,001 = 0,003 Summe: E (X) = 0,300 Das Ergebnis besagt natürøich nicht , dass man 0,3 Schmuggøer ertappen wird; es gibt keine 0,3 Personen. Der Erwartungswert muss keine ganze Zahø sein. Was man mit ihm aussagen wiøø, ist Foøgendes: Kontroøøiert man nicht einen, sondern 10, 100, … Busse, so wird man 10·0,3 = 3, 100·0,3 = 30, … Erfoøge erwarten dürfen. Wahrscheinøichkeitsaussagen dieser Art bekommen ihren Sinn immer erst auf øange Sicht! 2. Den Begriff Gewinnerwartung kennen Beispiel D Um (vgø. Beispieø B und seine Fortsetzung) die Zöøøner anzuspornen, wurde ein Prämiensystem ein- geführt. Wer bei einer Stichprobe von 3 Personen genau 0, 1, 2 oder 3 Erfoøge hat, erhäøt der Reihe nach 0, 5, 20 oder 100€ Erfoøgsprämie. Eine wie hohe Prämie darf der Zöøøner (aus seinem Informa- tionsstand heraus) erwarten? Lösung: Wir biøden den Erwartungswert der Zufaøøsvariabøen g(X), die den „Gewinn“ (die Gesamt- prämie) des Zöøøners in Abhängigkeit von der Anzahø X der Erfoøge beschreibt: P (X = 0) = 0,729 Prämie: 0 0·0,729 = 0 P (X = 1) = 0,243 Prämie: 5 5·0,243 = 1,215 P (X = 2) = 0,027 Prämie: 20 20·0,027 = 0,540 P (X = 3) = 0,001 Prämie: 100 100·0,001 = 0,100 Summe E (Prämie) = E (g(X)) = 1,855 Die Zoøøbehörde wird (auf øange Sicht) je Dreier-Stichprobe 1,86€ an Prämie auszahøen müssen. In Verallgemeinerung von Beispiel D definieren wir: 6.2 S 243 0 1 1 ü x f(x) 155152-247 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv