Reichel Mathematik 7, Schulbuch

248 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6 Definition Aøs Erwartungswert der diskreten Gewinnfunktion g (X) – kurz: Gewinnerwartung – bezeichnet man die Zahø E (g (X)) = ; i = 1 n g (x i )·P (X = x i ) Bemerkung: g (X) ist eine Zufallsvariable, die anders als die obige Zufallsvariable X (Anzahl der Erfolge) auch negative Werte (für Verluste) annehmen kann. Dann spricht man ebenfalls von einer Gewinnfunk- tion (und nicht von einer Verlustfunktion). 3. Die Begriffe Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen definieren können Aus Kapitel 6.0 wissen wir: Der Mittelwert x alleine ist nicht sehr aussagekräftig, weil ja die x i von _ x (stark) abweichen (können). Man gibt daher üblicherweise zu _ x auch die Streuung σ an. Analog ist der Erwartungswert E (X) = μ ohne ein Maß für die zu erwartende „Abweichung“ X – μ , die ihrerseits eine Zufallsvariable ist, nicht sehr aussagekräftig. Begründe! Bei der Definition dieses Maßes orientiert man sich an der Definition auf S. 237. Definition Aøs Varianz V (X) der diskreten Zufaøøsvariabøen X bezeichnet man die Zahø V (X) = σ 2 = E ((X – μ ) 2 ) = ; i = 1 n (x i – E (X)) 2 ·P (X = x i ) = ; i = 1 n (x i – μ ) 2 ·P (X = x i ) σ heißt Standardabweichung (Streuung) der Zufaøøsvariabøen X (um μ ). Beispiel B (Fortsetzung) Ermittøe, um wie vieø die Anzahø der ertappten Schmuggøer durchschnittøich vom Erwartungswert E (X) = 0,3 abweicht! Zeichne μ und σ im Schaubiød der Wahr- scheinøichkeitsfunktion ein! Lösung: P (X = 0) = 0,729 (0 – 0,3) 2 ·0,729 = 0,06561 P (X = 1) = 0,243 (1 – 0,3) 2 ·0,243 = 0,11907 P (X = 2) = 0,027 (2 – 0,3) 2 ·0,027 = 0,07803 P (X = 3) = 0,001 (3 – 0,3) 2 ·0,001 = 0,00729 Summe: 0,27000 = V (X) w σ ≈ 0,52 4. Den Begriff Gewinnstreuung kennen Definition Aøs Varianz der diskreten Gewinnfunktion g(X) bezeichnet man die Zahø V (g (X)) = σ g 2 = ; i = 1 n (g (x i ) – E (g (X))) 2 ·P (X = x i ) σ g heißt Standardabweichung (Streuung) von g (X) – kurz: Gewinnstreuung. Beispiel D (Fortsetzung) Ermittøe, um wie vieø Euro die pro Dreier-Stichprobe zu zahøende Prämie im Mitteø um ihren Erwartungswert E (g (X)) = 1,855 streut! Lösung: P (X = 0) = 0,729 (0 – 1,855) 2 ·0,729 = 2,50851 P (X = 1) = 0,243 (5 – 1,855) 2 ·0,243 = 2,40352 P (X = 2) = 0,027 (20 – 1,855) 2 ·0,027 = 8,88951 P (X = 3) = 0,001 (100 – 1,855) 2 ·0,001 = 9,63244 Summe: 23,43398 = V (g (X)) w σ g ≈ 4,84 Die Prämie streut voraussichtøich um 4,84€ um ihren Erwartungswert E (g (X)) = 1,86€, aøso in [‒2,98; 6,70]. Das Bonussystem könnte so zum Maøussystem werden. Erøäutere! 0 1 1 ü x f(x) ü - ă ü + ă Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv