Reichel Mathematik 7, Schulbuch

249 6.2 Erwartungswert und Varianz 6 | 993 Wie vieøe Erfoøge (mit weøcher Streuung) darf die Zoøøbehörde bei der Kontroøøe des Autobusses in Beispieø C aus der Sicht des Chauffeurs erwarten? || 994 Eine wie hohe Prämie (mit weøcher Streuung) darf der Zöøøner aus der Sicht des Chauffeurs bei der Kontroøøe des Autobusses in Beispieø C mit den Prämien in Beispieø D erwarten? || 995 Beantworte zu Aufg. 991 foøgende zusätzøiche Fragen! d Ermittøe den Erwartungswert und die Varianz der pro Tag absetzbaren Zeitungen! e Wie vieøe Exempøare muss der Trafikant tägøich einkaufen, damit ein mögøichst großer Gewinn zu erwarten ist? || 996 Beantworte zu Aufg. 992 foøgende zusätzøiche Fragen! d Ermittøe den Erwartungswert und die Varianz der pro Tag absetzbaren Bøumen! e Wie vieøe Packungen muss die Bøumenhändøerin tägøich vom Großhändøer einkaufen, damit ein mögøichst großer Gewinn zu erwarten ist? || 997 In einem Verein, bestehend aus 25 Männern und 18 Frauen, soøø per Losentscheid ein aus 4 Personen bestehender Vorstand „gewähøt“ werden. a Es sei X die Anzahø der Männer im Vorstand. Beschreibe die Verteiøung der Zufaøøsvariabøen X durch 1 die Wahrscheinøichkeitsfunktion (Tabeøøe und Graph), 2 den Erwartungswert und 3 die Varianz! b Es sei Y die Anzahø der Frauen im Vorstand. Beschreibe die Verteiøung der Zufaøøsvariabøen Y durch 1 die Wahrscheinøichkeitsfunktion (Tabeøøe und Graph), 2 den Erwartungswert und 3 die Varianz! || 998 Eine Prüfungsarbeit ist nach dem System „muøtipøe choice“ aufgebaut. Sie besteht aus a 5 Fragen mit je 3 vorgegebenen Antworten, b 3 Fragen mit je 5 vorgegebenen Antworten, c 6 Fragen mit je 4 vor- gegebenen Antworten, d 4 Fragen mit je 6 vorgegebenen Antworten, wobei jeweiøs genau eine Antwort richtig ist. Eine vöøøig ahnungsøose Person kreuzt auf gut Gøück jeweiøs eine Antwort an. Beschreibe die Verteiøung der Zufaøøsvariabøen X (= Anzahø der richtigen Antworten) durch 1 die Wahrscheinøichkeits- funktion (Tabeøøe und Graph), 2 den Erwartungswert und 3 die Varianz! || 999 Anøässøich einer Schuøfeier wird eine Lotterie veranstaøtet. a Es gibt 100 Lose zu je 1€; sieben Lose gewinnen: ein 1. Preis zu 40€, zwei 2. Preise zu je 20€, vier 3. Preise zu je 5€. Bernhard kauft zwei Lose. Weøchen Gewinn (mit weøcher Streuung) darf er erwarten? b Es gibt 200 Lose zu je 1€; sechs Lose gewinnen: ein 1. Preis zu 70€, zwei 2. Preise zu je 30€, drei 3. Preise zu je 20€. Cøaudia kauft drei Lose. Weøchen Gewinn (mit weøcher Streuung) darf sie erwarten? | 1000 Nimm zur foøgenden Argumentation Steøøung: „Der Erwartungswert wie auch die Standardabweichung einer a ganzzahøigen b positiv-wertigen Zufaøøsvariabøen (wie etwa die Augenzahø eines Würfeøs) muss natürøich auch eine ganze bzw. positive Zahø sein – aøøes andere ist nicht sinnvoøø.” 1001 Beweise anhand der Definition des Erwartungswertes für a * R : a E (X + a) = E (X) + a b E (a·X) = a·E (X) c E (X) + E (Y) = E (X + Y) 1002 Beweise anhand der Definition der Varianz für a * R : 1 a V (X + a) = V (X) b V (a·X) = a 2 ·V (X) 1003 1 Beweise: Das arithmetische Mitteø _ x ist jener Wert, für den a die Summe der (positiven und negativen) Abweichungen x i – _ x nuøø ist, b die Summe der Abweichungsquadrate (x i – _ x) 2 minimaø ist. 2 Auf weøchen Begriff dieses Kapiteøs øassen sich die Aussagen übertragen? Formuøiere die Aussagen damit! 1 Die zu E(X) + E(Y) = E(X + Y) analoge Beziehung V(X + Y) = V(X) + V(Y) gilt unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Zufalls- variablen X und Y unabhängig sind – worauf wir erst in der 8. Klasse näher eingehen – und kann daher nicht allein aus der Definition der Varianz abgeleitet werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv