Reichel Mathematik 7, Schulbuch

250 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6 Die Binomialverteilung 1. BERNOULLI-Experimente mit Baumdiagrammen beschreiben In der 6. Klasse (Kap. 5.2) haben wir Zufallsexperimente mit Zufallsgeräten wie Urnen, Glücksrädern, Münzen etc. durchgeführt und mittels Baumdiagrammen dargestellt und mathematisch untersucht. Im Folgenden schließen wir dem Prinzip nach an die Münzwürfe an, weil wir nur Experimente mit genau zwei Versuchsausgängen (Erfolg – Misserfolg) betrachten. Definition Ein aus einer Foøge von n Versuchen bestehendes Experiment, bei dem 1) jeder Versuch genau zwei mögøiche Versuchsausgänge besitzt und 2) jeder Versuch unter genau den gøeichen Voraussetzungen abøäuft, heißt (n-stufiges) BERNOULLI-Experiment . Wie kann man ein BERNOULLI-Experiment durch Ziehen aus einer Urne simuøieren? Gemäß 1) muss man aus einer Urne ziehen, die zwei Sorten von Kugeln enthält, gemäß 2) muss man die gezogene Kugel nach jedem Zug in die Urne zurücklegen, um die Ausgangssituation wiederherzustellen. Je nach Interpretation des Experiments steht die eine Kugelsorte für „Gewinn“, „Erfolg“, „günstig“ usw., die andere für „Verlust“, „Misserfolg“, „ungünstig“ usw. Mathematisch ausgedrückt besteht die Ergebnismenge Ω (vgl. Buch 6. Kl. S. 171) aus zwei Elementarereignissen, dem „günstigen“ Ereignis E , das mit der Wahr- scheinlichkeit p eintritt, und seinem Gegenereignis E’ , das mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 – p eintritt. Wie vieøe Kugeøn mit der Beschriftung „Erfoøg“ bzw. „Misserfoøg“ muss man zB in eine Urne øegen, da- mit die Erfoøgswahrscheinøichkeit p = 0,6 ist? Man kann zB insgesamt N = 100 Kugeln verwenden, wobei M = 60 Kugeln die Beschriftung „Erfolg“ und N – M = 40 Kugeln die Beschriftung „Misserfolg“ tragen. Ebenso gut hätte man N = 50 , M = 30 und N – M = 20 oder N = 5 , M = 3 und N – M = 2 Kugeln hineinlegen können. Schreibt man – wie üblich – statt E und E’ die Ziffern „ 1 “ und „ 0 “, so kann man das Ergebnis eines BERNOULLI-Experiments als n-stellige „ 0 - 1 “-Folge 1 notieren. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit kann man jeweils mit Hilfe der 1. Pfadregel berechnen: Beispiel E Berechne aøøgemein (dh. in Abhängigkeit von p und q) die Wahrscheinøichkeiten aøøer mögøichen Ergebnisse eines 3-stufigen BERNOULLI-Experiments! Was fäøøt dir auf? Lösung: 1 p 0 q 1 p 1 p 1 p 1 1 1 0 q 0 q 0 q 0 0 0 p q p p q q 1 0 1. Zug 2. Zug 3. Zug Ergebnis: P(Ergebnis): = 111 ppp p 3 110 ppq p q 2 101 pqp p q 2 011 qpp p q 2 001 qqp pq 2 100 pqq pq 2 010 qpq pq 2 000 qqq q 3 Man sieht: P (110) = P (101) = P (011), dh. aøøe „0-1“-Foøgen mit zwei „1“ haben die gøeiche Wahr- scheinøichkeit. Ebenso: P (001) = P (010) = P (100), dh. aøøe „0-1“-Foøgen mit einer „1“ haben die gøeiche Wahrscheinøichkeit. 1 Das Ergebnis eines BERNOULLI-Experiments ist also eine n-stellige Dualzahl (vgl. Buch 5. Kl. S. 61f). 6.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv