Reichel Mathematik 7, Schulbuch

251 6.3 Die Binomialverteilung 6 2. Das Verteilungsgesetz der Binomialverteilung wissen und anwenden Um von allen Anfang an möglichen Missverständnissen vorzubeugen: Wenn hier der Begriff Verteilung verwendet wird, ist nicht gemeint, wie sich die Erfolge und Misserfolge in ihrer Abfolge (Reihenfolge) auf den gesamten Versuchsablauf verteilen. Vielmehr geht es darum, wie sich die Gesamtwahrschein- lichkeit 1 auf die einzelnen Ereignisse ( 0 , 1 , 2 , …, n Erfolge bei n Versuchen) verteilt (aufteilt). Beispiel E (Fortsetzung) Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, a bei 2 Zügen 1 genau 2-maø, 2 genau 1-maø, 3 genau 0-maø (dh. keinen) Erfoøg zu haben, b bei 3 Zügen 1 genau 3-maø, 2 genau 2-maø, 3 genau 1-maø, 4 genau 0-maø Erfoøg zu haben? Lösung: Wir wenden auf das Baumdiagramm in Beispieø E die 2. Pfadregeø an: a n = 2 1 P (X = 2) = P (11) = p 2 2 P (X = 1) = P (10) + P (01) = pq + qp = 2pq 3 P (X = 0) = P (00) = q 2 b n = 3 1 P (X = 3) = P (111) = p 3 2 P (X = 2) = P (110) + P (101) + P (011) = ppq + pqp + qpp = 3p 2 q 3 P (X = 1) = P (100) + P (010) + P (001) = pqq + qpq + qqp = 3pq 2 4 P (X = 0) = P (000) = q 3 Was fäøøt dir an den Ergebnissen in der Fortsetzung von Beispieø E auf? Weøche Lösungen erwartest du für die entsprechenden Fragesteøøungen bei n = 4? Die Ergebnisse dieses Beispiels erinnern frappant an die Formeln (p + q) 2 = p 2 + 2pq + q 2 und (p + q) 3 = p 3 + 3p 2 q + 3pq 2 + q 3 . Unter Berufung auf den binomischen Lehrsatz und den Begriff Binomi- alkoeffizient (vgl. Buch 6. Kl. S. 92) vermuten wir daher den folgenden allgemeinen Zusammenhang zwischen den Gliedern der „ausgerechneten“ n-ten Potenz des Binoms (p + q) und den Wahrscheinlich- keiten P (X = k) eines n-stufigen BERNOULLI-Experiments mit 0 ª k ª n mit k * N . Satz Verteiøungsgesetz der Binomiaøverteiøung: Die Wahrscheinøichkeit, dass bei einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment mit der „Erfoøgs“-Wahr- scheinøichkeit p die Anzahø X der „Erfoøge“ genau k ist, ist P (X = k) = “ n k § ·p k ·(1 – p) n – k = “ n k § ·p k ·q n – k wobei k = 0, 1, …, n Der Beweis dieses Satzes erfolgt durch vollständige Induktion . Bemerkungen: 1) Der Name „Binomialverteilung“ und die Sprechweise „Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt“ er- klärt sich aus dem Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz. 2) Statt P (X = k) schreibt man häufig auch b n;p (k) ; man hält damit auch in der Notation fest, dass P (X = k) von n , p und k abhängt. Der Buchstabe b erinnert daran, dass X binomialverteilt ist. Analog schreibt man statt P (X ª k) auch B n; p (k) . Unter diesen Bezeichnungen sind die Wahrscheinlichkeits- funktion und die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung in Tafelwerken tabelliert , sodass man sich die mühsame Berechnung der Binomialkoeffizienten mittels PASCAL’schem Dreieck bzw. den Formeln im Buch 6. Kl. S. 183 ersparen kann. (Vgl. die Fortsetzung von Beispiel F auf S. 252!) 3) Da die Tabelle b n; p bzw. B n; p zwangsläufig unvollständig (und lückenhaft) ist, empfiehlt es sich, Diagramme bzw. den Computer einzusetzen. Die zugehörigen Programme zur Berechnung von b n; p (k) = f (k) bzw. B n; p (k) = F (k) beruhen auf der folgenden Rekursionsformel : f (k + 1) = f (k)· n – k ___ k + 1 · p _ q für k = 0, 1, …, n – 1 ; f (0) = q n Begründe ! A 1028 S 266ff S 260 A 1005 155152-251 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv