Reichel Mathematik 7, Schulbuch

252 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6 Beispiel F In Mathematanien ist die Wahrscheinøichkeit für die Geburt eines Sohnes 0,6. Wie groß ist die Wahr- scheinøichkeit, dass in einer Famiøie mit 5 Kindern 1 weniger aøs 2, 2 genau 2, 3 mehr aøs 2, 4 höchstens 2, 5 mindestens 2 Söhne sind? Berechne die Wahrscheinøichkeiten mitteøs der Formeø für die Binomiaøverteiøung! Lösung: Die Zufaøøsvariabøe X möge die Anzahø der Söhne zähøen; somit ist p = 0,6, q = 0,4 und n = 5. Die Binomiaøkoeffizienten gewinnen wir zB aus dem PASCAL’schen Dreieck. 1 P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1) = = “ 5 0 § ·0,6 0 ·0,4 5 + “ 5 1 § ·0,6 1 ·0,4 4 = = 1·1·0,01024 + 5·0,6·0,0256 = 0,08704 2 P (X = 2) = “ 5 2 § ·0,6 2 ·0,4 3 = 10·0,36·0,064 = 0,2304 3 P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = = “ 5 3 § ·0,6 3 ·0,4 2 + “ 5 4 § ·0,6 4 ·0,4 1 + “ 5 5 § ·0,6 5 ·0,4 0 = = 10·0,216·0,16 + 5·0,1296·0,4 + 1·0,07776·1 = 0,68256 4 P (X ª 2) = P (X < 2) + P (X = 2); aus 1 und 2 erhäøt man: 0,08704 + 0,2304 = 0,31744 5 P (X º 2) = P (X = 2) + P (X > 2); aus 2 und 3 erhäøt man: 0,2304 + 0,68256 = 0,91296 Beispiel F (Fortsetzung) Löse die Teiøaufgaben mit Hiøfe der Tabeøøen auf S. 266! Vergøeiche mit den Ergebnissen in Beispieø F! Lösung: Wegen p = 0,6 º 0,5 müssen wir uns an der heøøbøau gerasterten Randzeiøe und Randspaøte orientieren. Die Tabeøøenwerte geben hierbei die Wahrscheinøichkeiten P (X º k) an, womit sich die Teiøaufgabe 5 unmitteøbar øösen øässt: 5 P (X º 2) = 0,91296 finden wir bei n = 5 im Schnittpunkt der Spaøte p = 0,6 mit der Zeiøe k = 2. 3 Wegen P (X > 2) = P (X º 3) ergibt sich anaøog zu 5 die Lösung 0,68256. 2 Wegen P (X = 2) = P (X º 2) – P (X º 3) ergibt sich aus 5 und 3 : = 0,91296 – 0,68256 = 0,2304 1 Wegen P (X < 2) = 1 – P (X º 2) erhäøt man aus 5 die Lösung 0,08704. 4 Wegen P (X ª 2) = 1 – P (X º 3) erhäøt man aus 3 die Lösung 0,31744. Bemerkung: Die Aufgabe hätte man auch øösen können, indem man die Anzahø der Töchter betrachtet. Auch diese Zufaøøsvariabøe ist binomiaøverteiøt, aøøerdings mit p = 0,4. Beim Abøesen aus der Tabeøøe hat man sich wegen p = 0,4 ª 0,5 an der dunkeøbøau gerasterten Randzeiøe und Rand- spaøte zu orientieren. Die Tabeøøenwerte geben hierbei die Wahrscheinøichkeiten P (X ª k) an. 3. Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen berechnen Wir setzen in die Definition des Erwartungswertes von S. 247 die speziellen Werte der Wahrscheinlich- keiten P (X = i) der Binomialverteilung ein und erhalten mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes (Buch 6 Kl. S. 92): E (X) = μ = ; i = 0 n i·P (X = i) = 0 + 1 · “ n 1 § ·p 1 ·q n – 1 + 2· “ n 2 § ·p 2 ·q n – 2 + … + n· “ n n § ·p n ·q 0 = = n·pq n – 1 + 2n (n – 1) ______ 2! ·p 2 q n – 2 + … + n·p n = np·(q n – 1 + (n – 1) pq n – 2 + … + p n – 1 ) = = np·(q + p) n – 1 = np·1 n – 1 = np Setzt man die Wahrscheinlichkeiten P (X = i) in analoger Weise in die Definition der Varianz ein, so er- hält man durch ähnliche (recht umständliche) Umformungen: V (X) = σ 2 = npq Satz Erwartungswert und Varianz der Binomiaøverteiøung: E (X) = μ = n·p V (X) = σ 2 = n·p·(1 – p) = n·p·q Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv