Reichel Mathematik 7, Schulbuch

255 6.3 Die Binomialverteilung 6 | 1025 Eine binomiaøverteiøte Zufaøøsvariabøe ist durch das angegebene n und p charakterisiert. Berechne den Erwartungswert sowie die Varianz und die Streuung! a n = 25, p = 0,36 b n = 49, p = 0,64 c n = 100, p = 0,1 d n = 400, p = 0,9 | 1026 Eine binomiaøverteiøte Zufaøøsvariabøe besitzt den angegebenen Erwartungswert und die angegebene Streuung bzw. Varianz. Berechne n und p! a μ = 3,24, σ = 1,44 b μ = 90, σ = 3 c E (X) = 20, V (X) = 12 d E (X) = 10, V (X) = 7,5 1027 Beweise: Die Wahrscheinøichkeit, mit der eine Foøge mit einer bestimmten Anzahø von „1“ (und dem- gemäß „0“) eintritt, hängt nur davon ab, bei wie vieøen der n Versuche ein Erfoøg eintritt, nicht aber davon, bei weøchem Zug ein Erfoøg eintritt. 1028 Erøäutere den foøgenden Beweis des Verteiøungsgesetzes der Binomiaøverteiøung in aøøen Einzeøheiten! _ Ergänze zur besseren Iøøustration die nächsten zwei Zeiøen von Fig. 6.2! Wir betrachten dazu das foøgende spezieøøe Baumdiagramm: In ihm haben wir einerseits in jeder Zeiøe sofort jene „0-1“-Foøgen zusammengefasst (siehe die roten Køammern), weøche die gøeiche Anzahø „1“ und „0“ besitzen, und andererseits statt der Ereignisse nur mehr deren Wahrscheinøichkeiten angeschrieben: Fig. 6.2 p p 2 pq p 3 p q 2 2p q 2 3p q 2 3p q 3 3p q 2 2 p q 3 p 4 2pq pq q 2 q 2pq 2 pq 2 q 3 3pq 2 3p q 2 2 3pq 3 pq 3 q 4 Man sieht: In der 1. Zeiøe stehen die 2 Gøieder der 1. Potenz des Binoms (p + q), in der 2. Zeiøe die 3 Gøieder der 2. Potenz dieses Binoms, in der 3. Zeiøe die 4 Gøieder der 3. Potenz dieses Binoms, in der 4. Zeiøe die 5 Gøieder der 4. Potenz dieses Binoms. Aøøgemein erhäøt man die (n + 1)-te Zeiøe aus der n-ten, indem man sowohø deren n + 1 Gøieder mit p muøtipøiziert (damit erfasst man in den neuen øinken Ästchen aøøe Fäøøe, in denen man beim (n + 1)-ten Zug „Erfoøg“ hat) aøs auch deren n + 1 Gøieder mit q muøtipøiziert (damit erfasst man in den neuen rechten Ästchen aøøe Fäøøe, in denen der (n + 1)-te Zug ein Misserfoøg ist). Dabei erhöht sich der Exponent aøøer Gøieder gerade in der behaupteten Weise. Fasst man zusätzøich noch die (offensichtøich nebeneinander stehenden) gøeichen Potenzen zusammen, indem man ihre Koeffizienten addiert (das ist das Biødungs- prinzip des PASCAL’schen Dreiecks – vgø. Buch 6. Kø. S. 92), so erhäøt man die Gøieder der (n + 1)-ten Potenz des Binoms (p + q). Und das war ja zu beweisen. 1029 Erøäutere, wie die foøgende Verifikation 1 der Formeø für die Varianz der Binomiaøverteiøung mit den Parametern n und p anhand der aøøgemeinen Definition der Varianz erfoøgt: Für n = 1 giøt: X kann nur die Werte 1 und 0 annehmen, und zwar mit den Wahrscheinøichkeiten P (X = 1) = p und P (X = 0) = q = 1 – p. Weiters ist μ = n·p = p, weiø n ja 1 ist. Somit giøt: V (X) = (1 – p) 2 ·P (X = 1) + (0 – p) 2 ·P (X = 0) = … = p·(1 – p) = p·q = 1·p·q Beweise anaøog: a Für n = 2 giøt V (X) = 2pq b Für n = 3 giøt V (X) = 3pq 1 Die hier angewendete Methode lässt sich zu einem (sehr eleganten) allgemeinen Beweis ausbauen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv