Reichel Mathematik 7, Schulbuch

256 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6 Die hypergeometrische Verteilung 1. Das Verteilungsgesetz der hypergeometrischen Verteilung wissen und anwenden Bei den in Kap. 6.3 betrachteten BERNOULLI-Experimenten wurde verlangt, dass jeder Versuch unter den gleichen Versuchs- bedingungen abläuft. Im Urnenmodell haben wir dies realisiert, indem wir ein Ziehen mit Zurücklegen betrachteten. Diese Voraus- setzung ist aber bei vielen Experimenten unrealistisch: Wer legt ein Stück einer Warensendung, das auf Brauchbarkeit, Genießbar- keit (Foto) etc. untersucht wurde, wieder in die Kiste zurück? Wie soll man einen destruktiven Versuch, bei dem das zu unter- suchende Objekt (zB Munition) zerstört wurde, wiederholen? Hier ist das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne das geeignete Modell: Eine Urne enthält N Kugeln, und zwar M rote und N – M weiße. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Kugeln, die mit einem Griff gezogen werden, genau k rote (und dementsprechend genau n – k weiße) sind? Gemäß der Zählformel für ungeordnete Stichproben (Buch 6. Kl. S. 182f) können die k roten Kugeln aus den M roten Kugeln auf “ M k § Arten, die n – k weißen Kugeln aus den N – M weißen Kugeln auf “ N – M n – k § Ar- ten, die n Kugeln aus den N Kugeln auf “ N n § Arten gezogen werden. Auf jede der “ M k § Möglichkeiten, k rote Kugeln zu ziehen, entfallen “ N – M n – k § Möglichkeiten, n – k weiße Kugeln zu ziehen. Insgesamt gibt es daher “ M k § · “ N – M n – k § verschiedene „günstige“ Fälle. Aus der LAPLACE’schen Wahrscheinlichkeitsregel ergibt sich daher der Satz Verteiøungsgesetz der hypergeometrischen Verteiøung: Eine Urne enthäøt N Kugeøn, und zwar M rote und N – M weiße. Zieht man daraus mit einem Griff n Kugeøn, so giøt für die Anzahø X der gezogenen roten Kugeøn: P (X = k) = “ M k § · “ N – M n – k § _______ “ N n § M ª N, n ª N, 0 ª k ª n, 0 ª k ª M, 0 ª n – k ª N – M Bemerkungen: 1) Eine Zufallsvariable X , die diesem Verteilungsgesetz genügt, heißt hypergeometrisch verteilt. Die zu- gehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Verteilungsfunktion findet man in manchen Tafelwerken unter den Bezeichnungen h (k) bzw. H (k) . 2) Ist N gegenüber n sehr groß, so spielt der Aspekt des Zurücklegens bzw. Nicht-Zurücklegens (in nu- merischer Hinsicht) kaum eine Rolle. Durch Vergleich der Tabellen für b (k) und h (k) erkennt man: Für n ª N/10 kann die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung in guter Nähe- rung approximiert werden; dabei ist p = M/N . Beispiel G In einem Vorratsraum sind 50 Eier, von denen 2 mit Saømoneøøen verseucht sind; davon werden 10 Eier zur Verarbeitung gehoøt. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, höchstens 1 saømoneøøenhaøtiges Ei zu verarbeiten? Lösung: N = 50, M = 2, n = 10, k ª 1 P (X ª 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = “ 2 0 § · “ 48 10 § _____ “ 50 10 § + “ 2 1 § · “ 48 9 § _____ “ 50 10 § = 0,6367 + 0,3265 = 0,9632 6.4 S 258 155152-256 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv