Reichel Mathematik 7, Schulbuch

257 6.4 Die hypergeometrische Verteilung 6 2. Erwartungswert und Varianz einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariablen berechnen Satz Erwartungswert und Varianz der hypergeometrischen Verteiøung: E (X) = μ = n· M __ N V (X) = σ 2 = n· M __ N · “ 1 – M __ N § · N – n ____ N – 1 Bemerkung: Der Faktor N – n ____ N – 1 heißt Endlichkeitskorrektur . Sein Wert ist nahezu 1 , wenn man aus einer genügend großen Grundge- samtheit (Umfang N ) eine relativ kleine Stichprobe (Umfang n ) auswählt. Dies erklärt die obige Mög- lichkeit der Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die (rechnerisch einfachere) Bi- nomialverteilung. Wegen øim N ¥ • N – n ____ N – 1 = 1 ( n fest) kann die Binomialverteilung auch als Grenzverteilung der hypergeometrischen Verteilung aufgefasst werden. Dies macht auch die obigen Angaben für den Erwartungswert und die Varianz einer hypergeo- metrischverteilten Zufallsvariablen plausibel; auf einen Beweis der Formeln wollen wir verzichten. Beispiel G (Fortsetzung) Berechne 1 E (X), 2 V (X)! Interpretiere das Ergebnis! Lösung: 1 E (X) = 10· 2 __ 50 = 0,4, 2 V (X) = 10· 2 __ 50 · “ 1 – 2 __ 50 § · 50 – 10 _____ 50 – 1 = 384 ___ 1225 ≈ 0,31 w σ ≈ 0,56 Erwartungsgemäß wird man 0,40 ± 0,56 verseuchte Eier verarbeiten. Es besteht Gefahr. 1030 Beim deutschen Zahøenøotto „6 aus 49“ werden 6 Zahøen pøus eine Zusatzzahø gezogen. Rechne die foøgenden Gewinnwahrscheinøichkeiten nach! a sechs Richtige (Gewinnkøasse 1): 1/13983816 b fünf Richtige + Zusatzzahø (Gewinnkøasse 2): 6/13983816 c fünf Richtige + eine Niete (Gewinnkøasse 3): 258/13983816 d vier Richtige + zwei Nieten (Gewinnkøasse 4): 13545/13983816 e drei Richtige + drei Nieten (Gewinnkøasse 5): 246820/13983816 f weniger aøs drei Richtige (kein Gewinn): 13723192/13983816 1031 Berechne anaøog zu Aufg. 1030 die Gewinnchancen für das österreichische Zahøenøotto „6 aus 45“! Warum kann man ohne jede Rechnung sagen, dass es bessere Chancen bietet aøs das deutsche? 1032 In einer Urne befinden sich 10 gøeichartige, nur durch ihre Farbe unterschiedene Kugeøn: 3 grüne und 7 rote. Es werden 4 Kugeøn mit einem Griff gezogen. Berechne die Wahrscheinøichkeit, dass von den ge- zogenen Kugeøn a aøøe rot, b aøøe grün, c 3 rot und 1 grün, d 1 rot und 3 grün sind! 1033 Wie Aufg. 1032. Mit weøcher Wahrscheinøichkeit sind 1 mindestens, 2 höchstens, 3 mehr aøs, 4 weniger aøs 2 Kugeøn a grün, b rot? 1034 Von einem Preference-Kartenspieø (32 Karten) werden fünf Karten abgehoben. Berechne die Wahr- scheinøichkeit, dass sich unter diesen Karten genau zwei (der vier) Damen befinden! 1035 Von einem Paket Schnapskarten (20 Karten) werden dem Rufer 3 Karten ausgehändigt. Wie groß ist die Chance, dass er a 3 (der vier) Asse, b 3 Karten einer (der vier) Farben erhäøt? 1036 Einer Sendung von 400 Antriebsweøøen werden 40 entnommen und ihr Durchmesser geprüft. Man weiß, dass 2% der Weøøen Ausschuss sind. Berechne die Wahrscheinøichkeit, dass unter den untersuchten Weøøen 1 keine defekte Weøøe ist, 2 genau 2 defekte Weøøen sind! Rechne sowohø mit der Binomiaø- verteiøung aøs auch mit der hypergeometrischen Verteiøung! Überprüfe die Faustregeø n ª N/10 anhand der Ergebnisse! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv