Reichel Mathematik 7, Schulbuch

258 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6 Rückblick und Ausblick 1. Die Gleichverteilung kennen In der 6. Klasse gründeten wir die „Berechnung des Zufalls“ auf die LAPLACE’sche Wahrscheinlich- keitsregel: P (A) = Anzahø der für A g ünstigen Versuchsergebnisse ___________________________ Anzahø der m ögøichen Versuchsergebnisse = g __ m deren Anwendbarkeit sich auf so genannte LAPLACE’sche Zufallsexperimente beschränkt, also auf Ex- perimente, bei denen jeder der n Versuchsausgänge gleichwahrscheinlich ist 1 . Ordnen wir jedem der n Versuchsergebnisse in bijektiver Weise je eine der Zahlen 1 , 2 , 3 , …, n zu, so kann man diese als die gleichwahrscheinlichen Realisationen einer Zufallsvariablen X auffassen; man spricht daher von einer gleichverteilten Zufallsvariablen . Für diese gilt: Satz Verteiøungsgesetz der Gøeichverteiøung: P (X = k) = 1 _ n 1 ª k ª n, k * N , n * N * Durch Einsetzen in die Definition des Erwartungswertes und der Varianz erhält man Satz Erwartungswert und Varianz einer gøeichverteiøten Zufaøøsvariabøen: E (X) = n + 1 ___ 2 V (X) = n 2 – 1 ____ 12 Beispiel H Ein Würfeø wird geworfen. Die geworfene Augenzahø sei die Zufaøøsvariabøe X. Ermittøe 1 den Erwartungswert, 2 die Standardabweichung, 3 den Graphen der Wahrscheinøichkeitsfunktion und 4 den Graphen der Verteiøungsfunktion! Lösung: P (X = k) = 1/6 für k = 1, 2, …, 6. 1 E (X) = 6 + 1 ___ 2 = 3,5 2 V (X) = 6 2 – 1 ____ 12 = 2,92 w σ = 9 ____ 2,92 = 1,71 3 f(x) x 0 1 6 1 6 1 4 F(x) x 0 1 6 1 Mit Hilfe des Erwartungswertes und der Streuung sowie der Wahrscheinlichkeitsfunktion der gleich- verteilten Zufallsvariablen „Augenzahl“ kann man zerstörungsfrei testen, ob ein Würfel gefälscht ist – besser: gefälscht sein dürfte. Dies zu Beweisen müsste man ihn geometrisch genauestens vermessen und sein Material auf Homogenität prüfen, was aber die Zerstörung des „Beweisstückes“ mit sich brächte. Eine auffällige Abweichung kann sich darin äußern, dass eine bestimmte Augenzahl – zB „ 6 “ – auffällig oft (bzw. selten) auftritt. Die Anzahl der gewürfelten Sechser in einer Stichprobe vom Umfang n kann man als eine mit den Parametern n und p = 1/6 binomialverteilte Zufallsvariable betrachten und wie in Kap. 6.3 untersuchen. Eine auffällige Abweichung kann sich auch in einer auffällig langen (bzw. kurzen) Wartefrist bis zum erstmaligen Auftreten einer bestimmten Augenzahl – zB „ 6 “ – äußern. Anders als zuvor ist die Anzahl der nötigen Versuche keine binomialverteilte Zufallsvariable, sondern eine so genannte geometrisch verteilte Zufallsvariable. 1 Die Definition der Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der „Gleichwahrscheinlichkeit“ ist ein „logischer Zirkel“. Die Mathematik kämpfte lange um eine Lösung dieses Grundlagenproblems. 6.5 A 1045 155152-258 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv