Reichel Mathematik 7, Schulbuch

259 6.5 Rückblick und Ausblick 6 2. Die geometrische Verteilung kennen Nicht immer hat man es bei Experimenten mit einer vorher festgelegten Anzahl n von Versuchen zu tun. Denke etwa an das Elferschießen oder das „Mensch-ärgere-dich-nicht“-Spiel: Beispiel I Beim „Mensch ärgere dich nicht“-Spieø darf man erst ansetzen, wenn man einen Sechser geworfen hat. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass man 1 genau einen Wurf, 2 genau 2, 3 genau 3, 4 genau 4, 5 höchstens 4, 6 mehr aøs 4 Würfe benötigt? Lösung: Die Zufaøøsvariabøe X sei die Nummer des Versuchs, bei dem der gewünschte Sechser erstmaøs auftritt. Aus dem foøgenden Baumdiagramm (p = 1/6, q = 1 – p = 5/6) øiest man ab: 1 P (X = 1) = 1 _ 6 2 P (X = 2) = 5 _ 6 · 1 _ 6 = 5 __ 36 3 P (X = 3) = “ 5 _ 6 § 2 · 1 _ 6 = 25 ___ 216 4 P (X = 4) = “ 5 _ 6 § 3 · 1 _ 6 = 125 ___ 1296 5 P (X ª 4) = ; i = 1 4 q i – 1 ·p = 671 ___ 1296 6 P (X > 4) = 1 – P (X ª 4) = 625 ___ 1296 = “ 5 _ 6 § 4 Man sieht: Die Werte P (X = k) werden für jedes p wegen 0 < q = 1 – p < 1 mit wachsendem k immer klei- ner, aber niemals null. Beweise dies ! Genauer: die P (X = k) bilden eine geometrische Folge – was der Verteilung ihren Namen gab. In Verallgemeinerung des Beispiels ergibt sich der Satz Verteiøungsgesetz der geometrischen Verteiøung: P (X = k) = (1 – p) k – 1 ·p k * N * Eine weitere naheliegende Frage in Beispiel I wäre, wie lang man „im Mittel“ würfeln muss, um anset- zen zu können. Eine Antwort darauf gibt der Erwartungswert samt Streuung. Allerdings muss man dazu die Definition des Erwartungswertes und der Varianz von Kap. 6.2 verallgemeinern. Da nämlich bei ei- ner geometrischen Verteilung im Gegensatz zu allen anderen bisher besprochenen Verteilungen die An- zahl n der Versuche nicht feststeht, im Prinzip sogar unendlich groß sein kann, muss man anstelle der endlichen Summe nunmehr eine unendliche Summe (von abzählbar unendlich vielen Summanden) zu- lassen. Das ist natürlich nur sinnvoll, wenn diese Summe existiert, oder anders gesagt: wenn die unend- liche Reihe konvergiert. Ausgehend von der Definition auf S. 247f geben wir die allgemeinere Definition Aøs Erwartungswert bzw. Varianz einer diskreten Zufaøøsvariabøen X mit abzähøbar unendøich vieøen Reaøisationen x i bezeichnet man die Zahøen E (X) = μ = ; i = 1 • x i ·P (X = x i ) V (X) = ; i = 1 • (x i – μ ) 2 ·P (X = x i ) sofern die Reihen konvergieren. Aus dieser erhält man durch geschickte Umformungen folgende Formeln: Satz Erwartungswert und Varianz einer geometrisch verteiøten Zufaøøsvariabøen: E (X) = 1 _ p V (X) = 1 – p ___ p 2 A 1007 6 5 6 1 6 6 5 6 1 6 6 5 6 1 6 6 ¬ 6 ¬ 6 ¬ 6 ¬ 6 5 6 1 6 A 1043 A 1044 155152-259 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv