Reichel Mathematik 7, Schulbuch

1 270 Kompetenzcheck – Lösungen Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 9 ___ ‒64 = 9 __ 64· 9 __ ‒1 = 8 i 2 9 _____ ‒25 x 2 = 5 ix 157 Die Schreibweise i = 9 __ ‒1 kann auf Widersprüche führen: 9 __ ‒1· 9 __ ‒1 = i·i = i 2 = ‒1 9 _______ (‒1)·(‒1) = 9 _ 1 = 1 1 i 3 + i 2 + i 5 = ‒i – 1 + i = ‒1 2 1 _ i 3 = i _ i 4 = i _ 1 = i 3 i ‒2 – i ‒3 = 1 _ i 2 – 1 _ i 3 = i 2 – i ___ i 4 = ‒1 – i ____ 1 = ‒1 – i 4 i 3 ___ i – i 7 = ‒i ____ i – (‒i) = ‒i ___ i + i = ‒i __ 2 i = ‒1 __ 2 158 1 i 200 = 1 i 2001 = i i ‒11 = i 2 i 4n + 1 = (i 4 ) n ·i = 1 n ·i = i i 4n + 2 = (i 4 ) n ·i 2 = 1 n ·i 2 = ‒1 159‒161: Gegeben waren die kompøexen Zahøen z 1 = 1 – 4 i und z 2 = ‒2 + 3 i. 1 Re (z 1 ) = 1 2 Im(z 1 ) = ‒4 3 __ z 1 = 1 + 4 i 4 † z 1 † = 9 _______ 1 2 + (‒4) 2 = 9 __ 17 5 z 1 + z 2 = 1 – 4 i – 2 + 3 i = ‒1 – i 6 z 1 – z 2 = 1 – 4 i + 2 – 3 i = 3 – 7i 7 z 1 ·z 2 = (1 – 4 i)·(‒2 + 3 i) = = ‒2 + 8 i + 3 i – 12 i 2 = 10 + 11 i 8 z 1 /z 2 = (1 – 4 i)·(‒2 – 3 i) ___________ (‒2 + 3 i)· (‒2 – 3 i) = ‒14 + 5 i _____ 13 159 1 † a + bi † = 9 _____ a 2 + b 2 † a – bi † = 9 _______ a 2 + (‒b) 2 = 9 _____ a 2 + b 2 2 z + _ z = a + bi + a – bi = 2a * R 3 z· _ z = (a + bi) ·(a – bi) = = a 2 + abi – abi – b 2 i 2 = a 2 + b 2 * R 4 z _ _ z = (a + bi)·(a + bi) _________ (a – bi) ·(a + bi) = a 2 + 2abi – b 2 ________ a 2 + b 2 z/ _ z ist reeøø, wenn a oder b nuøø ist. 1 z 1 = 9 __ 17·(cos 284,04° + i·sin284,04°) z 2 = 9 __ 13·(cos123,69° + i·sin123,69°) 2 0 1 i Im(z) Re(z) z 1 z 2 160 a = r·cos φ b = r·sin φ Im(z) Re(z) a r z φ b r = 9 _____ a 2 + b 2 φ = arctan “ b _ a § 1 z 1 ·z 2 = 9 ___ 221·(cos 47,73° + i·sin47,73°) 2 z 1 /z 2 = 9 ___ 1,31·(cos160,35° + i·sin160,35°) 3 z 1 3 = 9 __ 17 3 ·(cos132,11° + i·sin132,11°) 4 3 9 __ z 2 = 6 9 __ 13·(cos 41,23° + i·sin41,23°) 6 9 __ 13·(cos161,23° + i·sin161,23°) 6 9 __ 13·(cos 281,23° + i·sin281,23°) 161 Die Lösungen biøden die Ecken eines gøeich- seitigen Dreiecks. 0 1 i Im(z) Re(z) 162 Rechenoperation Erweiterung auf Subtraktion C Division Z Wurzeø aus pos. Zahøen R Wurzeø aus neg. Zahøen Q N Z Q R C L = {3} {‒1, 3} & ‒1, 1 _ 2 , 3 / & ‒1, 1 _ 2 , 3 / & ‒1, 1 _ 2 , 3 / Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv