Reichel Mathematik 7, Schulbuch

1 271 Kompetenzcheck – Lösungen Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen x 2 – 4 x + 13 = 0 x 1,2 = 2 ± 9 _____ 4 – 13 = 2 ± 9 __ ‒9 = 2 ± 3 i Probe für x 1 = 2 + 3 i: (2 + 3 i) 2 – 4 (2 + 3 i) + 13 = = 4 + 12 i + 9 i 2 – 8 – 12 i + 13 = = 9 + 9 i 2 = 9 – 9 = 0 163 Die richtigen Zuordnungen øauten: C Addition C \{0} R Subtraktion R \{0} Q Muøtipøikation Q \{0} Z Division R + N Wurzeøziehen 164‒167: Gegeben waren drei Gøeichungen: 1 x 2 – x – 3 _ 4 = 0 2 x 2 + x + 1 _ 4 = 0 3 x 2 – 3 x + 5 _ 2 = 0 1 B 2 C 3 A 164 Entscheidend ist der Wert der Diskriminante: Wenn p 2 __ 4 – q > 0 w zwei reeøøe Lösungen wenn p 2 __ 4 – q = 0 w eine reeøøe (Doppeø-)Lösung wenn p 2 __ 4 – q < 0 w zwei kompøexe Lösungen 1 x 1,2 = 1 _ 2 ± 9 ____ 1 _ 4 + 3 _ 4 = 1 _ 2 ± 1 = ‒1 __ 2 ; 3 _ 2 2 x 1,2 = ‒ 1 _ 2 ± 9 ____ 1 _ 4 – 1 _ 4 = ‒ 1 _ 2 ± 0 = ‒ 1 _ 2 3 x 1,2 = 3 _ 2 ± 9 _____ 9 _ 4 – 10 __ 4 = 3 _ 2 ± i _ 2 165 x 2 + px + q = 0 † ‒q + p 2 __ 4 x 2 + px + p 2 __ 4 = ‒q + p 2 __ 4 “ x + p _ 2 § 2 = ‒q + p 2 __ 4 É “ x + p _ 2 § = ± 9 _____ ‒q + p 2 __ 4 x 1,2 = ‒ p _ 2 ± 9 _____ p 2 __ 4 – q 1 x 2 – x – 3 _ 4 = “ x + 1 _ 2 § · “ x – 3 _ 2 § 2 x 2 + x + 1 _ 4 = “ x + 1 _ 2 § 2 3 x 2 – 3 x + 5 _ 2 = “ x – 3 – i ___ 2 § · “ x – 3 + i ___ 2 § 166 Die Lösungen x 1 und x 2 sind konjugiert kompøex. 1 x S = ‒ p _ 2 = 1 _ 2 ; y S = “ 1 _ 2 § 2 – 1 _ 2 – 3 _ 4 = = ‒1 w S “ 1 _ 2 † ‒1 § 2 S “ ‒ 1 _ 2 † 0 § 3 S “ 3 _ 2 † 1 _ 4 § 167 ax 2 + bx + c = a· “ x + b __ 2a § 2 – b 2 __ 4a + c = = a· “ x – “ ‒ b __ 2a § § 2 + ‒b 2 + 4ac ______ 4a w S “ ‒b __ 2a † ‒b 2 + 4ac ______ 4a § 1 a 2 – b 2 = (a + b)·(a – b) 2 a 2 + b 2 = (a + bi)·(a – bi) 3 9 x 2 – 4 y 2 = (3 x + 2 y)·(3 x – 2 y) 4 9 x 2 + 4 y 2 = (3 x + 2 iy)·(3 x – 2 iy) 168 Ja, nach dem Fundamentaøsatz der Aøgebra hat ein Poøynom n-ten Grades n Nuøøsteøøen (mit den Vieøfachheiten gezähøt) und øässt sich daher aøs Produkt von n Linearfaktoren schreiben. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv