Reichel Mathematik 7, Schulbuch

274 Kompetenzcheck – Lösungen 2 Differentialrechnung 341: 0 1 1 y x Siehe Zeichnung! 341 An Knicksteøøen: Es gibt keine Tangente. Bei der Sprungsteøøe: die Funktion ist nicht stetig und daher auch nicht differenzierbar. 342‒343 : Gegeben waren foøgende Funktionen: f 1 : y = 4 x 2 f 2 : y = 2 x 3 + x 2 + 2 _ 3 x – 1 f 3 : y = sinx ___ 2 f 4 : y = 3x ___ 1 – x f 5 : y = x 2 ·cos x f 6 : y = x·sin (x 2 ) f 7 : y = 9 ___ 2e x f 8 : y = øn 9 ___ 3 x f 1 f 2 f 3 Summen- u. Differenzenregeø f 4 Konstantenregeø f 5 Produktregeø f 6 Quotientenregeø f 7 Kettenregeø f 8 342 1 Konstante Funktionen haben Steigung 0 (Summenregeø). 2 (a·f)’ = a’·f + a·f’ = 0·f + a·f’ = a·f’ 3 Die Steigung der Umkehrfunktion an der Steøøe y 0 = f (x 0 ) entspricht dem Kehrwert der Steigung der ursprüngøichen Funktion bei x 0 . y 0 = sinx 0 ___ 2 = 0 w x 0 = 0 f 3 *’(0) = 1 ____ f 3 ’(0) = 1 _____ cos(0)/2 = 1 __ 1/2 = 2 f 1 ’ = 8 x f 2 ’ = 6 x 2 + 2 x + 2 _ 3 f 3 ’ = cosx ___ 2 f 4 ’ = 3·(1 – x) – 3x·(‒1) ___________ (1 – x) 2 = 3 ____ (1 – x) 2 f 5 ’ = 2 x cos x – x 2 sin x f 6 ’ = sin (x 2 ) + x·cos (x 2 )·2 x f 7 ’ = “ 9 __ 2·e x _ 2 § ’ = 9 __ 2· 1 _ 2 ·e x _ 2 = 9 __ e x __ 2 f 8 ’ = 1 ___ 9 ___ 3x · 3 ____ 2 9 ___ 3x = 1 __ 2x 343 f 7 : y = 9 ___ 2e x y 2 = 2e x 2 yy’ = 2e x y’ = 2e x ___ 2y = e x ___ 9 __ 2e x = 9 __ e x __ 2 e 10x 0 10 x x·(2 øn x + 1) x 2 ·øn x e x + x·e x x·e ‒x (1 – x)·e ‒x x·e x 10 ·e 10x 2 øn x 10 x ·øn10 cos x·tan x 1 ____ x·øn2 sin 2 x + cos 2 x cos x 344 1 y = 4 x 4 – 5 x 3 + x 2 – 3 x + 2 y’ = 16 x 3 – 15 x 2 + 2 x – 3 y’’ = 48 x 2 – 30 x + 2 y’’’ = 96 x – 30 y IV = 96 2 ab y V Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv