Reichel Mathematik 7, Schulbuch

275 Kompetenzcheck – Lösungen Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 515‒516: 0 1 1 y x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 f (x 1 ) < 0 f’(x 1 ) = 0 f’’(x 1 ) = 0 f (x 2 ) > 0 f’(x 2 ) > 0 f’’(x 2 ) = 0 f (x 3 ) > 0 f’(x 3 ) = 0 f’’(x 3 ) < 0 f (x 4 ) = 0 f’(x 4 ) < 0 f’’(x 4 ) = 0 f (x 5 ) < 0 f’(x 5 ) = 0 f’’(x 5 ) > 0 f (x 6 ) = 0 f’(x 6 ) > 0 f’’(x 6 ) > 0 2 Nuøøsteøøen ( 5 1 0 ), ( 11 1 0 ), ( 18 1 0 ) Randminimum ( 0,5 1 ‒3) Randmaximum ( 19 1 3,5 ) øokaøes Minimum ( 15 1 ‒2) øokaøes Maximum ( 8 1 3 ) Satteøpunkt ( 2 1 ‒2) Wendepunkte ( 5,5 1 1 ), ( 11 1 0 ) 515 f sei bei x 0 stetig und genügend oft differenzierbar. 1 f hat bei x 0 eine Nuøøsteøøe É f (x 0 ) = 0 2 f’(x 0 ) = 0 È f hat bei x 0 ein øokaøes Extremum 3 f’’(x 0 ) = 0 È f hat bei x 0 eine Wendesteøøe 4 f’(x 0 ) = 0 und f’’(x 0 ) ≠ 0 w f hat bei x 0 ein øokaøes Extremum 5 f’’(x 0 ) = 0 und f’’’(x 0 ) ≠ 0 w f hat bei x 0 eine Wendesteøøe 6 f’(x 0 ) wechseøt bei x 0 das Vorzeichen w f hat bei x 0 ein øokaøes Extremum 7 f’’(x 0 ) wechseøt bei x 0 das Vorzeichen w x 0 ist eine Wendesteøøe 8 Für eine rationaøe Funktion f = p/q giøt: Der Grad von p und q stimmen überein É f hat eine waagrechte Asymptote 1 f ist streng monoton steigend: ]0,5; 8[ und ]15; 19[ (rote durchgehende Linie) 2 f’ < 0 ]8; 15[ (rot strichøierte Linie) 3 Die Krümmung ist positiv. ]2; 5,5[ und ]11; 19[ (bøaue durchgehende Linie) 4 f’’ < 0: ]0,5; 2[ und ]5,5; 11[ (bøaue strichøierte Linie) 5 Die Funktionswerte sind positiv: ]5; 11[ und ]18; 19] (grüne durchgehende Linie) 6 f < 0: ]0,5; 5[ und ]11; 18[ (grüne strichøierte Linie) 516 1 „Ein Zuwachs ist zu verzeichnen.“ f’ > 0 2 „Der Höhepunkt ist überschritten.“ f’ < 0 3 „Das Tief ist überwunden.“ f’ > 0 4 „Der Zuwachs geht zurück.“ f’ > 0 und f’’ < 0 5 „Die Taøfahrt ist gebremst.“ f’ < 0 und f’’ > 0 ZB: 517 Wahr oder faøsch? w f 1 Ein Hochpunkt muss höher øiegen aøs ein Tiefpunkt. 2 Wenn f’(x 0 ) = 0, dann øiegt bei x 0 ein Extremum. 3 Die Tangente in einem Satteøpunkt hat die Steigung 0. 4 Bei jeder Nuøøsteøøe wechseøt das Vor- zeichen der Funktionswerte. 0 1 1 y x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv