Reichel Mathematik 7, Schulbuch

276 Kompetenzcheck – Lösungen Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 518: Gegeben waren mögøiche Eigenschaften einer Funktion f und formaøe Aussagen: I f geht durch den Punkt (2 1 8). II f hat bei 2 eine Nuøøsteøøe. A f (2) geht gegen unendøich. III f hat an der Steøøe 2 einen Satteøpunkt. B f (2) = 0 IV f hat an der Steøøe 2 einen Wendepunkt. C f ’ (2) = 0 V Der Anstieg im Punkt (2 1 8) ist 3. D f ’’ (2) = 0 VI f hat an der Steøøe 2 die Wendetangente y = 3 x + 2. E f (2) = 8 VII f schneidet die x-Achse bei 2. F f ’ (2) = 3 VIII f hat an der Steøøe 2 ein øokaøes Extremum. G f (0) = 0 IX f hat bei 2 eine senkrechte Asymptote. H f (2) = f (0) X f geht durch den Ursprung. I f ’ (0) = 1 XI f hat an der Steøøe 0 die Steigung 45°. XII f hat die Periode 2. I  E VII  B II  B VIII  C III  C und D IX  A IV  D X  G V  E und F XI  I VI  D , E und F XII  H 518 f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f’(x) = 3ax 2 + 2bx + c f’’(x) = 6ax + 2b f (0) = 0 w a·0 + b·0 + c·0 + d = 0 w d = 0 f (2) = 8 w a·8 + b·4 + c·2 + d = 8 w 4a + 2b + c = 4 f’(2) = 3 w 3a·4 + 2b·2 + c = 3 w 12a + 4b + c = 3 f’’(2) = 0 w 6a·2 + 2b = 0 w 6a + b = 0 1 y’ = a x ·øna, dh. dass y und y’ zueinander proportionaø sind mit dem Proportionaøitäts- faktor øna. 2 y = e x 2 y’ = e x 2 ·2 x = 0 w x = 0 y’’ = e x 2 ·2 x·2 x + e x 2 ·2 = = e x 2 ·(4 x 2 + 2) > 0 w Minimum in (0 1 1) 519 1 Die Wachstumsrate oder Zerfaøøsrate ist proportionaø zur vorhandenen Menge. 2 a y’(0) = e 0 ·0 = 0 x < 0: y’ = e x 2 ·2 x < 0; x > 0: y’ = e x 2 ·2 x > 0 Vorzeichenwechseø von minus auf pøus w Tiefpunkt b Nach der Definition muss f (x) > f (x 0 ) sein: e x 2 > e x 2 0 = e 0 = 1, das ist erfüøøt für aøøe x ≠ 0, daher sind aøøe Umgebungen U ε (0) = ]0 – ε ; 0 + ε [ = ]‒ ε ; ε [ geeignet. 2 sin (3 x + π ) = 0 É 3 x + π = k· π É 3 x = (k – 1)· π É x = (k – 1)· π /3 N k (k· π /3 1 0) k * Z 520 1 Periode = 2 π __ 3 2 Ampøitude = 2 y = 4 x 3 – 2 x + 1 w y’ = 12 x 2 – 2 w y’’ = 24 x w y’’’ = 24 Wendesteøøen: y’’ = 24 x = 0 w x = 0 y’’’(0) = 24 ≠ 0 w Wendepunkt (0 1 1) 521 Der Grad des Poøynoms reduziert sich bei jedem Differentieren um 1. Aus dem Fundamentaøsatz der Aøgebra foøgt: 1 n-1 Extremsteøøen 2 n-2 Wendesteøøen x 2 + 3 x – 4 = (x – 1)·(x + 4) w D = R \{‒4; 1} senkrechte Asymptoten: x = ‒4 und x = 1 522 1 Der Grad des Zähøers ist größer aøs der Grad des Nenners. 2 (x 3 + 2 x 2 + 2 x – 3)(x 2 + 3 x – 4) = x – 1 x 3 + 3 x 2 – 4 x ‒x 2 + 6 x – 3 schräge Asymptote: ‒x 2 – 3 x + 4 y = x – 1 9 x – 7 Rest Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv