Reichel Mathematik 7, Schulbuch

277 Kompetenzcheck – Lösungen Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 y = x 3 – x 2 w y ’ = 3 x 2 – 2 x w x (3 x – 2) = 0 w x 1 = 2/3, x 2 = 0 † x 1 3 – x 1 2 † = † (2/3) 3 – (2/3) 2 † = 4/27 658 Weiø 0 das Minimum ist. V (a, c) = a 2 c und 8a + 4 c = 60 w c = 15 – 2a V (a) = a 2 (15 – 2a) = 15a 2 – 2a 3 mit a * [0; 7,5] V ’ (a) = 30a – 6a 2 = 6a (5 – a) V ’ (a) = 0 w a = 5 (oder a = 0) V (0) = V (7,5) = 0 c = 15 – 2·5 = 5 = a Das Prisma ist ein Würfeø. 659 Handeøt es sich bei der Zieøfunktion um eine zweisteøøige Funktion, kann diese mit Hiøfe der Nebenbedingung auf eine einsteøøige reduziert werden, in dem eine Variabøe aus der Neben- bedingung ausgerechnet und in die Zieøfunktion eingesetzt wird. A (a, b) = 2ab und b = 9 _____ r 2 – a 2 A (a) = 2a 9 _____ r 2 – a 2 _ A (a) = a 2 (r 2 – a 2 ) = a 2 r 2 – a 4 _ A ’ (a) = 2ar 2 – 4a 3 = 2a (r 2 – 2a 2 ) _ A ’ (a) = 0 w a = 0 oder a = r __ 9 __ 2 a = 0 w b = r w A = 0 (Minimum) a = r __ 9 __ 2 w b = 9 ____ r 2 – r 2 __ 2 = r __ 9 __ 2 w A = r 2 Das føächengrößte Rechteck ist ein „haøbes Quadrat“. 660 Man kann Konstante wegøassen, das Quadrat der Zieøfunktion verwenden oder den Reziprokwert. A ( γ ) = a 2 __ 2 sin γ A’( γ ) = a 2 __ 2 cos γ cos γ = 0 w γ = 90° 661 sin γ hat sein Maximum bei 90°. 662: Beim schiefen Wurf mit dem Wurfwinkeø φ und der Anfangsgeschwindigkeit v 0 bewegt sich ein Körper auf einer durch y = x tan φ – x 2 4,9 _____ v 0 2 cos 2 φ näherungs- weise gegebenen Bahn. (Der Luftwiderstand bøeibt unberücksichtigt.) 1 y ’ = tan φ – 2 x 4,9 ______ v 0 2 cos 2 φ = 0 w x ( φ ) = v 0 2 __ 9,8 cos 2 φ tan φ = v 0 2 ·2·cos φ ·sin φ __________ 9,8·2 = v 0 2 ___ 19,6 sin2 φ h ( φ ) = y = v 0 2 ___ 19,6 sin2 φ sin φ ____ cos φ – “ v 0 2 ___ 19,6 sin2 φ § 2 · 4,9 _____ v 0 2 cos 2 φ = = v 0 2 2sin φ cos φ _________ 19,6 “ sin φ ____ cos φ – 2sin φ cos φ _______ 4cos 2 φ § = = v 0 2 sin φ cos φ ________ 9,8 2sin φ – sin φ ________ 2cos φ = v 0 2 ___ 19,6 sin 2 φ 2 sin 2 φ hat das Maximum bei φ = 90°. 662 1 Für die Wurfweite w giøt y (w) = 0 0 = wtan φ – w 2 4,9 ______ v 0 2 cos 2 φ w = 0 (Minimum) oder w = tan φ v 0 2 cos 2 φ _____ 4,9 = v 0 2 sin φ cos φ ________ 4,9 = = v 0 2 2sin φ cos φ _________ 9,8 = v 0 2 __ 9,8 sin2 φ 2 w ’ ( φ ) = v 0 2 __ 9,8 2 cos 2 φ w 2 φ = 90° w φ = 45° w(45°) = v 0 2 __ 9,8 φ y x W 0 h w Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv